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名工大数学'10年前期[4]

名工大数学'10年前期[4]

関数 ()に対して次の問いに答えよ。必要ならば、自然対数の底eの値はであることを用いてよい。
(1) 関数の増減を調べよ。
(2) 曲線上の点Pにおける法線の方程式を求めよ。
(3) Pからx軸に下ろした垂線をPQとする。(2)で求めた法線x軸との交点をRとする。2QRの距離の最大値を求めよ。

解答 面倒な微分の計算問題です。

(1) の分母がのままでは、微分計算で不利なので、と変形するべきです。また、商の微分法より積の微分法のほうがラクなので、として微分を実行します。

とすると、

のときより、
関数の増減は以下の通り
(関数の増減を参照)
x1



0
0(0)

(2) Pにおける接線の傾きは、
Pにおける法線の傾きは、
Pにおける法線の方程式は、
......[]

(3) Qの座標はです。
x軸との交点は、の方程式でとして、


これがRx座標です。
とおくと、
 (商の微分法を参照)

とすると、 ∴
ここで、
のとき
増減表は以下の通り。

t1

e


00
0(0)
より、
従って、は、のとき最大値
......[]


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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2010/11/19(金) 11:20:45|
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