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岐阜薬大数学'10年[6]

岐阜薬大数学'10[6]

楕円O,直線l (),直線がある。楕円Oと直線lが接しているとき、次の問いに答えよ。
(1) aの値を求めよ。また、楕円Oと直線2個の共有点をもつように、tの値の存在範囲を求めよ。
(2) 直線lと直線の交点を点Hとするとき、点Aと点Hとの距離stを用いて表せ。また、楕円Oと直線2個の共有点PQをもつとき、tを用いて表せ。ただし、とする。
(3) 楕円Oを直線lのまわりに1回転してできる回転体の体積Vを求めよ。

解答 斜回転体の体積の問題ですが、楕円を斜めに回転させてみよう、というわけで、いろいろと工夫が必要になります。ていねいな誘導に沿って進めて行きます。

楕円O ・・・①
直線
l ・・・②
直線 ・・・③

(1) ①と②を連立すると、

楕円Oと直線lが接するので、この2次方程式は重解をもちます。判別式について、
 (2次方程式を参照)
より、 ......[]
これより、直線l ・・・④
①と③を連立すると、

 ・・・⑤
楕円Oと直線2個の共有点をもつので、この2次方程式は2個の相異なる実数解をもちます。判別式について、

......[]

(2) ③と④を連立すると、
(とおきます) ・・・⑥
これが点
Hx座標です。点Aから、直線:に垂線AKを下ろすと、直線lの傾きが1であることから、直角三角形AHKは直角二等辺三角形で、AKAH = 1より、
 ・・・⑦
の下で、⑤の2解をpq ()とすると、
P,点Qx座標はpqです。
直線の傾きがであることから、




......[]

(3) 断面積を直線lに沿って積分すれば良いわけですが、直線lに沿って座標をとり、直線lと垂直な平面で回転体を切ったときの断面積を考えます。
AHの長さsを直線lに沿ってとった座標とします。lが垂直なので、断面積は、外側の円の面積から内側の円の面積を引いたものになります。
のとき、点Hx座標は0のとき、点Hx座標は2
tの範囲を動きますが、このとき、
 ( (2))
⑦を用いて置換積分をします。sのときt
は、とおくととなり、半径2の円の面積の,つまりになります(置換積分(その2)を参照)
とおくと、tのときutのときu
以上より、
......[]


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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2010/11/18(木) 18:09:53|
  2. 10年数学
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