FC2ブログ

CHALLENGE from the VOID

大学入試問題を考える - 数学・物理 -

CFV21 ご入会のおすすめ
理工系受験生の方は
こちらをご覧ください
当会の活動にご支援頂ける方は
こちらをご覧ください

センター試験「数学」の必勝法はこちら
センター試験「物理」の必勝法はこちら

理工系受験生必見!! 2010-2007入試問題検討ページ(東大・東工大・京大・早慶) 
CFV21での学習の進め方

スポンサーサイト

上記の広告は1ヶ月以上更新のないブログに表示されています。
新しい記事を書く事で広告が消せます。
  1. --/--/--(--) --:--:--|
  2. スポンサー広告

阪大理系数学'10年後期[4]

阪大理系数学'10年後期[4]

Cは、2つの放物線 () ()で囲まれた領域内にあり、両方の放物線と共有点をもち、さらにy軸上に中心をもつとする。このとき、以下のことを示せ。
(1) Cおよぼのそれぞれと1点のみを共有するならば、かつである。
(2) Cおよびのそれぞれと2点を共有するならば、かつである。

解答 と放物線の位置関係の問題なのですが、結局2次方程式を考えることになります。

(1) C、放物線y軸に関して対称なので、Cが共有点をもつときにおいて共有点をもてば、y軸に関してその共有点と対称な点もまた共有点となり、共有点は少なくとも2個あります。Cも同様です。
従って、C1点のみを共有するのであれば、その共有点はy軸上の点であり、放物線の頂点です。同様に、C1点のみを共有するのであれば、その共有点はy軸上の点での頂点です。ということは、円Cは、2を直径の両端とする円で、中心,半径の円だということです。円C方程式は、

 ・・・①
と連立すると、

のときです。
以外に共有点はないので、
xの方程式として解を持たないか、あるいは、が解になればよいので、より、
 ∴  ・・・②
①と、 を連立すると、

のときです。
以外に共有点はないので、
が解を持たないか、あるいは、が解になればよいので、より、
 ∴  ・・・③
②,③より、Cおよぼのそれぞれと1点のみを共有するならば、かつです。

(2) (1)と同様に考えます。Cy軸に関して対称であることから、Cが共有点を2点持つのであれば、その2点はy軸に関して対称でy座標は共通です。また、2共有点は接点で、そのx座標は絶対値が等しく正負が異なります。同様にCが共有点を2点持つのであれば、その2点はy軸に関して対称でy座標は共通です。こちらも、2共有点は接点で、そのx座標は絶対値が等しく正負が異なります。
Cの中心を,半径をrとして、円Cの方程式を、

 ・・・④
とします。
と連立すると、
 ・・・⑤
重解をもつので、判別式について、
 ・・・⑥ (2次方程式を参照)
この条件下に⑥の重解は、
 ・・・⑦
④と、 を連立すると、
 ・・・⑧
重解をもつので、判別式について、
 ・・・⑨
この条件下に⑧の重解は、
 ・・・⑩
⑦,⑩に文字cが入っているので、cを求めます。
⑥-⑨より、

⑦より、
このとき、の方程式より、
これが、以外の2解を持つために、より、
 ・・・⑪
⑩より、
このとき、の方程式より、

これが、以外の2解を持つために、より、
 ・・・⑫
⑪,⑫より、Cおよびのそれぞれと2点を共有するならば、かつです。


TOPに戻る   CFV21 メイン・ページ   考察のぺージ

(C)2005-2010
(有)りるらる
CFV21 随時入会受付中!
CFV21ご入会は、まず、
こちらまでメールをお送りください。
 雑誌「大学への数学」購入
スポンサーサイト

テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2010/11/13(土) 12:09:44|
  2. 10年数学
  3. | トラックバック:0
  4. | コメント:0
<<旭川医大数学'10年[2] | ホーム | 福井大医数学'10年[2]>>

コメント

コメントの投稿


管理者にだけ表示を許可する

トラックバック

トラックバックURLはこちら
http://cfv21.blog49.fc2.com/tb.php/1160-6473036e
この記事にトラックバックする(FC2ブログユーザー)
上記広告は1ヶ月以上更新のないブログに表示されています。新しい記事を書くことで広告を消せます。