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福井大医数学'10年[2]

福井大医数学'10[2]

表の出る確率がp,裏の出る確率がのコインがある。このコインを投げ、その結果により、駒が2ABの間を移動し、ポイントを獲得することを繰り返す次のようなゲームを行う。
ルールa) 駒はゲームを始めるとき点Aにいる
ルールb) 駒はコイン投げで表が出ればそのときいる点にとどまり、裏が出ればもう一方の点に移動する
ルールc) k回目のコイン投げの結果、駒が点Aにいるときはポイント新たに獲得し、点Bにいるときはkポイント新たに獲得する ()
nを自然数として、以下の問いに答えよ。
(1) n回コインを投げた結果、駒が点Aにいる確率をとおく。を求めよ。
(2) k回目のコイン投げの結果により新たに獲得するポイントの期待値をとおく。のとき、npを用いて表せ。
(3) (1)で求めたpの関数と考え、と書くとき、次の極限値を求めよ。

解答 確率と漸化式の融合問題に、区分求積法の処理が続いている問題です。

(1) ルールa)より、数列の初項について、と考えることにします。
回コインを投げた結果駒が点Aにいる確率はで、点Bにいる確率はです。
回コインを投げたあと、点
Aにいる駒はn回目のコイン投げで、確率pで表が出て点Aに留まります。
回コインを投げたあと、点
Bにいる駒はn回目のコイン投げで、確率で裏が出て点Aに移ります。
n回コインを投げた結果、駒が点Aにいるのは、上の2つの場合であって、その確率は、

 ・・・① (2項間漸化式を参照)
aとおいて、
 ・・・②
aについて解くと、であれば、
のとき、①-②より、
これより、数列は、初項,公比
等比数列です。
 ・・・③
のとき、①は、となりますが、コイン投げで必ず表が出るので、駒は点
Aにいつづけることになり、です。これは、③に含まれます。
......[]

(2) k回目のコイン投げの結果、駒がAにいる確率はで、このときの得点は,駒がBにいる確率はで、このときの得点はkです。(1)の結果を用いて、得点の期待値は、


 ・・・④
 ・・・⑤
とおくと、
 ・・・⑥
 ・・・⑦
⑥-⑦より、



 ・・・⑧
④,⑤,⑧より、
......[]

(3)

 (区分求積法を参照)

......[]


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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2010/11/11(木) 15:36:13|
  2. 10年数学
  3. | トラックバック:0
  4. | コメント:0
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