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名大数学'10年[4]

名大数学'10[4]

xy平面上でx座標とy座標がともに整数である点を格子点と呼ぶ。
(1) のグラフ上に無限個の格子点が存在することを示せ。
(2) abは実数でとする。のグラフ上に、点以外に格子点が2つ存在すれば、無限個存在することを示せ。

解答 「無限個」であることをどう示すか、という問題です。なお、整数を参照してください。

(1)
x6の倍数であるとき、はともに整数で、yも整数となり、6の倍数は無限に存在するので、のグラフ上に無限個の格子点が存在します。

(2) のグラフ上の以外の2個の格子点を (mnpqは整数、)とします。格子点が2つ存在するので、です。
 ・・・①
 ・・・②
①×n-②×mより、
 ()
①×-②×より、
xの倍数であるとき、はともに整数で、yも整数となり、の倍数は無限に存在するので、のグラフ上に、点以外に格子点が2つ存在すれば、無限個存在します。


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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2010/11/03(水) 08:53:38|
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