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大分大医数学'10年[2]

大分大医数学'10[2]

中心のxyz座標がで半径が1の球Gと点Pに関して、点Pを通る直線が球Gと共有点をもつとき、この直線とxy平面の交点全体が作る図形の外形を表す方程式を求めよ。また、その方程式が表す図形を実数aに関して分類せよ。

解答 円錐を平面で切ったときの切り口は2次曲線です。

Gの中心をC,点Pを通る直線と球Gとの共有点をAxy平面との共有点をBとします。
Cから直線PAに下ろした垂線の足をHとすると、直線PACを通る場合を除いて、三角形PCHは直角三角形で、
この結果は、直線PACを通る場合()にも成立します。Hは球Gの表面上または球内の点なので、であって、
なので、
 (内積を参照)
 ・・・①
Bxy平面上の点なのでとおくと、
 (空間ベクトルを参照)



これらを①に代入して、
展開して、
左辺、右辺の定数項について、

より、
外形では、不等号を等号にし、またxy平面上の図形であることから、
かつ ......[] ・・・①
の係数は、
の係数が正、0,負によって分類します。
(i)
とすると、
のとき、①は、直線
のとき、①は、
(ii)
とすると、
の係数は正なので、①は、
これは楕円です。
(iii)
とすると、
の係数は正なので、①は、
これは双曲線です。
以上をまとめると、
のとき楕円,のとき直線,のとき双曲線,のとき放物線,のとき楕円
......[]


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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2010/11/02(火) 09:58:54|
  2. 10年数学
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