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広島大理系数学'10年後期[3]

広島大理系数学'10年後期[3]

に対して ()を考える。以下の問いに答えよ。
(1) のとき、が成り立つことを示せ。
(2) 等式を示せ。
(3) が成り立つことを示せ。
(4) が成り立つことを示せ。

解答 不等式の証明が付属していますが、三角関数で表される数列の和を求めよう、という問題です。

(1) のグラフとのグラフを考えます。

より、両グラフとも、2を通ります。
において、より、のグラフは上に凸です
(関数の凹凸を参照)
において、のグラフは両端を除いて、両端を結ぶ直線のグラフより上にあります。よって、,即ち、

(2)

 (2倍角の公式を参照)

(3) (2)をどう使うか、ということを考えることになりますが、示すべき不等式の分母を払うと、
となるので、Σ内の式と、(2)の右辺とを見比べて、
とおきます。(2)を用いて、
つまり、
これを、について、加え合わせると、左辺は、



 (数列の求和技法を参照)
となり、右辺は、
となります。

に対して、より、

(4) (3)で示したの式では、右辺の派手な分子に目が行きがちですが、とは言えないので(1)が利用できません。目立たないですが、分母のの方に着目します。
(1)においてとすると、のときより、

より、

追記.(3)の等式は、ド・モアブルの定理を使うと、等比数列の和の公式を用いて証明できます。ド・モアブルの定理より、iを虚数単位、nを整数として、








実部、虚部を比較して、


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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2010/10/30(土) 13:32:22|
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