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千葉大数学'10年前期[10]

千葉大数学'10年前期[10]

以下の問いに答えよ。
(1) をみたす正の整数の組をすべて求めよ。
(2) をみたす正の整数の組をすべて求めよ。

解答 見慣れない整数問題ですが、基本に従って、「整数×整数=整数」の形を目指します。

(1)
nは正の整数なので、 () ()の約数です。
mを満たす整数として、
 ・・・①
とおくと、
 ・・・②
①より、
②に代入して、


中カッコ内は3の倍数ではないので、
 ・・・③
に限られます。
より、

①より、
③より、
......[]

(2) の形のままでは、「整数×整数=整数」の形が作れません。手がかりを探します。
まず、は奇数、40は偶数なので、は奇数で、kも奇数です。mを正の整数として、
とおくと、
これより、4で割ると1余る整数です。4で割ると3余り、4で割ると1余ります(この後、,・・・を4で割ると余りは3131,・・・と繰り返します)4で割ったときの商をs,余りをr ()とすると、

これより、4で割ったときの余りは4で割ったときの余りに一致します。
よって、
4で割ったときの余りが1になるのは、nが偶数のときです。となれば、目標の形が見えてきます。
pを正の整数として、とおくと、
 ・・・④
 ・・・⑤
40の約数で、12458102040のいずれかです。より、に限られます。
(i) のとき、
⑤より、
これを満たす整数
kはありません。
(ii) のとき、
⑤より、

④より、
(iii) のとき、
⑤より、

④より、
(iv) のとき、
⑤より、
これを満たす整数
kはありません。
以上より、 ......[]


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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2010/10/27(水) 10:41:34|
  2. 10年数学
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