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東北大理系数学'10年前期[2]

東北大理系数学'10年前期[2]

abを正の実数とする。曲線Cと点Pを考える。以下の問いに答えよ。
(1) Pから曲線Cに接線がちょうど3本引けるような点の存在する領域を図示せよ。
(2) Pから曲線Cに接線がちょうど2本引けるとする。2つの接点をABとしたとき、より小さくなるためのabの条件を求めよ。

解答 問題文をよく読んで勘違いのないようにしよう、という問題です。

 ・・・①


(1)  ・・・②
接点における接線は、
Pから引いた接線なので、を代入すると、です。
 ・・・③
この左辺をとおきます。③はです。
とすると、
なので、は、
極大値:
をとり、
は、
極小値:
をとります(3次関数の増減を参照)
Pから曲線Cに接線がちょうど3本引けるようにするためには、t3次方程式が相異なる3実数解を持てばよいのですが、そのためには、極大値が正でかつ極小値が負となることが必要十分です(微分法の方程式への応用を参照)
極大値:
より、
となりますが、このとき必ず、
極小値:
なので、が相異なる3実数解をもつ条件は、です。より、点の存在する領域を図示すると右図黄緑色着色部(点線の縦軸、境界線上、及び白マルを除く)

(2) Pから曲線Cに接線がちょうど2本引けるとき、③:が相異なる実数解を2個もちます。つまり、③:が重解を1つ持ちます。このとき、のグラフは横軸と接するようになるので、極大値か極小値のいずれかは0になります。
のときは極大値が負となり③の実数解は1つです。でもでもなので、極小値が0になることはなく、極大値が0だとすると、
より、 ・・・④
このとき、
は、2解、をもちます。つまり、2接点のx座標は、0です。2接線の傾きは、②より、です。
両接線と
x軸とのなす角をabとして、より、両接線のなす角は、
 (正接の加法定理を参照)
より小さくなるためには、2接線のなす角がとなればよいのですが、このとき、となるので、
 ・・・⑤
④,⑤より、求める条件は、
かつ ......[]


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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2010/10/26(火) 10:01:48|
  2. 10年数学
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