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愛媛大理系数学'10年[3]

愛媛大理系数学'10[3]

2つの数列は、すべての自然数nについて
, 
を満たしているとする。
(1) 初項がであるとする。
(i) を求めよ。
(ii) を表すnの式を推定し、それらの推定が正しいことを数学的帰納法によって証明せよ。
(2) 初項がであるとする。
(i) で表せ。
(ii) を求めよ。

解答 定型的でない連立漸化式の問題です。ビックリするような初項の(2)で、なあんだ、という気にさせられます。(2)を先にやる方が良いのですが、(1)の段階で気づけるでしょうか?

(1)(i) ......[]
......[]
......[
]
......[
]
(ii)
これより、と推定することができます。推定が正しいことを数学的帰納法で証明します。
() のとき、より、推定は成り立ちます。
() のとき推定が成り立つ、つまり、と仮定します。
よって、のときも成立します。
()()より、推定が正しいことが証明されました。

(2)(i)
......[]
(ii)
(i)より、
これより、と仮定すると、
(i)より、
よって、帰納的に、すべての自然数nについて、 ......[]
注意.(2)(i)は、初項がでなくても成立します。(1)の初項もを満たすので、(1)でもが成立します。(1)では、これに気づかなくても、計算がややこしいというわけではないので、実害はないと思いますが、実害があるような入試問題もあるかも知れません。(1)で難航するようなら、(2)も見てみる、という心がけをもつようにしましょう。


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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2010/10/20(水) 07:28:25|
  2. 10年数学
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