FC2ブログ

CHALLENGE from the VOID

大学入試問題を考える - 数学・物理 -

CFV21 ご入会のおすすめ
理工系受験生の方は
こちらをご覧ください
当会の活動にご支援頂ける方は
こちらをご覧ください

センター試験「数学」の必勝法はこちら
センター試験「物理」の必勝法はこちら

理工系受験生必見!! 2010-2007入試問題検討ページ(東大・東工大・京大・早慶) 
CFV21での学習の進め方

スポンサーサイト

上記の広告は1ヶ月以上更新のないブログに表示されています。
新しい記事を書く事で広告が消せます。
  1. --/--/--(--) --:--:--|
  2. スポンサー広告

広島大理系数学'10年後期[1]

広島大理系数学'10年後期[1]

自然数のうち、28がどの桁にも現れないものを考え、それらを小さい方から重に並べた数列
1, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 10, 11, 13, 14, 15, 16, 17, 19, 30, 31, 33, ・・・
とする。いま、自然数mに対し、数列の中にあるm桁の整数の個数をとする。例えばである。このとき、以下の問いに答えよ。
(1) を求めよ。
(2) 自然数mに対し、を求めよ。
(3) 自然数mに対し、数列の中にあるm桁の整数の逆数の総和はより小さいことを示せ。
(4) すべての自然数nに対し、が成り立つことを示せ。

解答 難問に見えますが、親切な誘導に沿って進めば標準問題です。試験会場でパスしないようにしましょう。

(1) 2桁の自然数で、10の位にも、1の位にも、28が現れない数は、
10の位が、1, 3, 4, 5, 6, 7, 97通り、
1の位が、0, 1, 3, 4, 5, 6, 7, 98通り、
よって、
......[] (場合の数を参照)
3
桁の自然数で、100の位にも、10の位にも、1の位にも、28が現れない数は、
100の位が、1, 3, 4, 5, 6, 7, 97通り、
10の位が、0, 1, 3, 4, 5, 6, 7, 98通り、
1の位が、0, 1, 3, 4, 5, 6, 7, 98通り、
よって、
......[]

(2) のとき、m桁の自然数で、各桁に28が現れない数は、
の位が、1, 3, 4, 5, 6, 7, 97通り、
の位からの位まで、
0, 1, 3, 4, 5, 6, 7, 98通り、
よって、 
(のときも成り立ちます)
自然数mに対し、 ......[] (等比数列を参照)

(3) 自然数mに対し、数列の中にあるm桁の整数が、第k項から第l項まで(項数は)に位置しているとします。
のとき、
なので、すべての自然数
mに対し、
 (は、項の和)
よって、自然数mに対し、数列の中にあるm桁の整数の逆数の総和はよりも小さくなります。

(4) (3)に出てくる数列の中にあるm桁の整数の逆数の総和をとします。(3)の結果より、
です。M桁の整数だとすると、(3)の結果をからまでで考えることにより、
(2)の結果を用いると、Mは有限な値なので、
無限等比級数は、初項7,公比無限等比級数ですが、公比の絶対値は1よりも小さいので、収束して和をもち、
以上より、
すべての自然数
nに対し、が成り立ちます。


TOPに戻る   CFV21 メイン・ページ   考察のぺージ

(C)2005-2010
(有)りるらる
CFV21 随時入会受付中!
CFV21ご入会は、まず、
こちらまでメールをお送りください。
 雑誌「大学への数学」購入
スポンサーサイト

テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2010/10/19(火) 09:41:19|
  2. 10年数学
  3. | トラックバック:0
  4. | コメント:0
<<愛媛大理系数学'10年[3] | ホーム | 千葉大物理'10年[8]>>

コメント

コメントの投稿


管理者にだけ表示を許可する

トラックバック

トラックバックURLはこちら
http://cfv21.blog49.fc2.com/tb.php/1146-177bbf3e
この記事にトラックバックする(FC2ブログユーザー)
上記広告は1ヶ月以上更新のないブログに表示されています。新しい記事を書くことで広告を消せます。