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電通大数学'10年後期[4]

電通大数学'10年後期[4]

PCDの辺PCの中点をA,辺PDの中点をBとする。として、線分ABab に内分する点をQ,線分CBa1に内分する点をR,直線PQと直線ARの交点をEとする。以下の問いに答えよ。
(1) ab を用いて表せ。
(2) aを用いて表せ。
(3) ab を用いて表せ。
(4) Eが直線CD上にあるとき、ab の満たす関係式を求めよ。
(5) ABを固定して、点P(4)で求めた関係式を満たしながら動くとき、△PABの面積の最大値Sを求めよ。

解答 平面ベクトルの基本問題ですが、(5)で、P軌跡楕円です。

(1) ......[] (ベクトルの内分・外分を参照)

(2) より、

......[]

(3) とおくと、(2)の結果を用いて、

 ・・・①
一方、(1)の結果を用いて、
 ・・・②
①,②の係数を比較して(ベクトルの1次独立を参照)
 ・・・③
 ・・・④
④より、
③に代入して、

のとき、Pは線分AB上に来て、△PCDができないので、より、
②より、
......[]

(4) より、
Eが直線CD上にあるとき、
......[]

(5) (4)の結果より、点P2定点ABとの距離の和が2なので、点Pは、AB2焦点とし、長軸の長さが2となる楕円上の点です。
この楕円の焦点間距離の,半長軸は1,半短軸は、
PABの底辺は1,高さが半短軸になるとき(このとき、)に、△PABの面積最大で、最大値Sは、
......[]


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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2010/10/14(木) 05:47:45|
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