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東京理科大理'10年[2]

東京理科大理'10[2]

とおく。
(1) 方程式の正の実数解と負の実数解はそれぞれいくつあるか答えよ。
(2) 方程式のすべての実数解aに対して
が成り立つような、2次以下の整式を求めよ。
(3) aを方程式の実数解とするとき、もまた方程式の解であることを示せ。
(4) aを方程式の最大の実数解とするとき、の符号はそれぞれ正、負のどちらであるか、理由も含めて答えよ。

解答 3次方程式の問題ですが、(3)では、「恒等式」と「等式」の違いについて注意しましょう。なお、高次方程式を参照してください。

(1) 3次方程式3個の解をもっています。xにいろいろな数値を代入すると、
より、方程式は、において1つずつ実数解をもちます。従って、
正の実数解が
1個、負の実数解が2 ......[]

(2) 3次方程式3個の実数解をabgとします。

これがすべての実数xについて成り立つために、
 ・・・①
 ・・・②
 ・・・③
①より、 ・・・④
となりますが、
2次の整式を、pqrを実数として、とおくと、④でとして、
 ・・・⑤
 ・・・⑥
 ・・・⑦
⑤-⑥より、
3個の解は互いに異なるのでより、で割って、
 ・・・⑧
⑥-⑦より、同様にして、
 ・・・⑨
⑧-⑨より、
より、,⑧より、,⑤より、
......[]
②より、
 ・・・⑩
2次の整式を、lmnを実数として、とおくと、⑩でとして、
 ・・・⑪
 ・・・⑫
 ・・・⑬
⑪-⑫より、
で割って、
 ・・・⑭
⑫-⑬より、同様にして、
 ・・・⑮
⑭-⑮より、
で割って、
⑭より、

⑪より、

a
を方程式の解とするとき、

 ・・・⑯
得られたは、⑯を用いて、
より、③を満たしています。
......[]
注意.④,⑩より、となることは明らかですが、④,⑩のaは「全ての実数」ではなく、3abgのみであって、④,⑩はa恒等式ではなく、恒等式の条件が使えないことに注意してください。
④は⑤,⑥,⑦を代表して書かれた等式、⑩は、⑪,⑫,⑬を代表して書かれた等式であって、「
aに関する恒等式」ではないのです。
上記のように、
pqrに関する連立方程式⑤,⑥,⑦,また、lmnに関する連立方程式⑪,⑫,⑬を解かなくても、2次関数のグラフは、通過する異なる3点が決まってしまえば、ただ1通りに決まります。
異なる
3を通ることから
異なる
3を通ることから
と断定できます。

(3) (2)より、
また、

ここで、⑯を用いて、
これより、は、
と因数分解できます。よって、もまた、方程式の解になります。

(4) (1)より、の符号はどちらも負 ......[]


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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2010/10/06(水) 21:16:11|
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