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北大数学'10年前期[4]

北大数学'10年前期[4]

に対して
と定める。ただし、 は自然対数の底である。
(1) 不定積分を求めよ。
(2) xの指数関数と多項式を用いて表せ。
(3) で極大となることを示せ。

解答 単なる微積の計算問題だろうと思って安易に取り組むと、(3)で予想外の落とし穴が待っています。

(1)  (部分積分を参照)
 (:積分定数) ......[]
 (:積分定数) ......[]

(2) の定積分は、定積分の中にある絶対値記号の内側の正負によって、積分区間を、2つにわけます。
1項の定積分ではより,第2項の定積分ではより
2項の定積分は、とおくと、tのときu





......[]

(3)
方程式は解くことができません。を代入してみると、
これで増減表を書けば、において極値をとる、と、言えそうですが、においてがどんな変化をするのか、の形を見ているだけではわかりません。が極大値ということもあり得ます。においてのグラフがx軸と平行な接線をもつだけでの近くでが符号を変えない、ということもあり得ます。
そこで、を微分してみます。
注.とすると、
となって、2解あることがわかります。従って、xを増加させていくとき、は、増加、減少、増加と変化します(関数の増減を参照)
におけるの符号を調べてみます。
においては減少していて、xを増加させていくとき、の前後では正から負へと符号が変わります。よって、において極小となります。


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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2010/10/04(月) 11:17:42|
  2. 10年数学
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