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筑波大数学'10年[1]

筑波大数学'10[1]

とおく。ただしとする。
(1) となるaの範囲を求めよ。
(2) の極小値が以下となるaの範囲を求めよ。
(3) におけるの最小値をaを用いて表せ。

解答 (3)では、最小値しか聞かれていませんが、最大値も考えることにします。

(1)

とすると、
と合わせて、
......[]

(2)  (微分を参照)
とすると、
より増減表は以下のようになります(3次関数の増減を参照)
x
0
a
00
0

増減表より、極小値はです。
これより、となるaの範囲は、 ......[]

(3) まず、極小を与える ()との位置関係を考えると、2つの場合に分けられます。
さらに、の範囲の端での関数値と極大値,極小値の大小関係によって場合分けすることになります。
最小値だけであれば
(1)(2)で充分ですが、最大値も考えるのであれば、を比較します。
より、であればであればです。
(1)(2)も含めて以上より、(i) (ii) (iii) (iv) 4つの場合に分けて考えます。
(i)(ii)(iii)においては、の範囲内に、極大、極小を与えるいずれも含みます。(iv)においては、の範囲内に、極大を与えるは含みますが、極小を与えるは含みません。
(i) のとき、
より、
最大値は、 
(3次関数の最大最小を参照)
最小値は、
(ii) のとき、
より、
最大値は、
最小値は、
(iii) のとき、
より、
最大値は、
最小値は、
(iv) のとき、
より、
最大値は、
最小値は、
以上より、におけるの最小値は、
のときのときのとき
......[]
追記.まで広げて考えると、
(v) のとき、最大値:,最小値:
(vi) のとき、最大値:,最小値:
のようになります。
問題文で
axを入れ替えると、「aの範囲を動くとき、直線の通過範囲を求めよ。」という問題になります。(i)(vi)により、右図黄緑色の範囲になります。本問は、このうちの部分の下限の境界線を求めているわけです。


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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2010/09/28(火) 15:11:17|
  2. 10年数学
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