FC2ブログ

CHALLENGE from the VOID

大学入試問題を考える - 数学・物理 -

CFV21 ご入会のおすすめ
理工系受験生の方は
こちらをご覧ください
当会の活動にご支援頂ける方は
こちらをご覧ください

センター試験「数学」の必勝法はこちら
センター試験「物理」の必勝法はこちら

理工系受験生必見!! 2010-2007入試問題検討ページ(東大・東工大・京大・早慶) 
CFV21での学習の進め方

スポンサーサイト

上記の広告は1ヶ月以上更新のないブログに表示されています。
新しい記事を書く事で広告が消せます。
  1. --/--/--(--) --:--:--|
  2. スポンサー広告

阪大理系数学'10年前期[4]

阪大理系数学'10年前期[4]

半径3の球と半径1の球が、内接した状態で空間に固定されている。半径1の球Sが次の条件(A)(B)を同時にみたしながら動く。
(A) Sの内部にあるかに内接している。
(B) Sの外部にあるかに外接している。
Sの中心が存在しうる範囲をDとするとき、立体Dの体積を求めよ。

解答 空間図形の体積の問題ですが、球を円と読み替えれば、二球の位置関係を二円の位置関係として考えて行くことができます。立体Dがどういう図形になるのか、ある程度の説明は必要でしょう。

の中心を原点、これに内接する球の中心の座標をとするような座標系をとります。また、球の半径を,球の半径をとします。

Sの半径をとし、球Sの中心と球の中心との距離をとすると、条件(A)より、中心間距離は半径の差以下(二円の位置関係を参照)なので、
 ・・・①
Sの中心と球の中心との距離をとすると、条件(B)より、中心間距離は半径の和以上なので、
 ・・・②
Sの中心の座標をとすると、①より、
 ・・・③
②より、
 ・・・④
(A)かつ(B),即ち、③かつ④を満たす範囲Dは、xを固定して考えれば(x軸に垂直な平面上では円周とその内部、または、2つの円周に挟まれた部分になる)わかるように、x軸のまわりに回転しても同じ範囲(回転対称)になります。
よって、立体
Dを、xy平面()で切断したときの断面(右図黄緑色着色部分)x軸のまわりに回転させた図形として考えることができ、立体Dの体積を回転体の体積として求めることができます。
右図断面は、

かつ
として表せますが、円から、 かつ を満たす部分(範囲Eとします)を除いた図形です。範囲Eは、2本の境界線はどちらも半径1の円なのでに関して対称であって、範囲Ex軸のまわりに回転させた回転体の体積は、円の部分をx軸のまわりに回転させた回転体の体積2倍です。
より、
よって、
立体Dの体積Vは、半径2の球の体積からを引いて、
......[]



TOPに戻る   CFV21 メイン・ページ   考察のぺージ

(C)2005-2010
(有)りるらる
CFV21 随時入会受付中!
CFV21ご入会は、まず、
こちらまでメールをお送りください。
 雑誌「大学への数学」購入
スポンサーサイト

テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2010/09/21(火) 13:42:38|
  2. 10年数学
  3. | トラックバック:0
  4. | コメント:0
<<九大理系数学'10年後期[3] | ホーム | 名大物理'10年[1]>>

コメント

コメントの投稿


管理者にだけ表示を許可する

トラックバック

トラックバックURLはこちら
http://cfv21.blog49.fc2.com/tb.php/1130-2c9a0ad1
この記事にトラックバックする(FC2ブログユーザー)
上記広告は1ヶ月以上更新のないブログに表示されています。新しい記事を書くことで広告を消せます。