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京大文系数学'10年[2]

京大文系数学'10[2]

座標平面上の点の範囲を動くとき、のそれぞれの最大値と最小値を求めよ。

解答 線形計画法の典型問題です。

 ・・・
() の範囲の境界線は、
 ・・・①
 ・・・②
 ・・・③
①と②を連立すると、①×2-②より、
 ∴
①,②の交点は
①と③を連立すると、①-③×
2より、
 ∴
①,③の交点は
②と③を連立すると、②×
2-③より、
 ∴
②,③の交点は
これより、
()を図示すると、右図黄緑色着色部分(境界線を含む)
とおき、と変形すると、傾き
y切片kの直線を表します(直線の方程式を参照)
kが大きくなるに従って、直線は上にずれて行きます。範囲()を通過する直線を考えます。
kが最大になるのは、直線を通過するときで、このとき、
kが最小になるのは、直線を通過するときで、このとき、
よって、の最大値:6,最小値:2 ......[]
とおくと、原点を中心とする半径の円(のときは原点1)を表します(円の方程式を参照)
kが大きくなるに従って、円の半径が大きくなります。範囲()を通過する円を考えます。
kが最大になるのは、円を通過するときで、このとき、
kが最小になるのは、円が直線②のの部分と接するときで、このとき、
②とを連立して、


この2次方程式が重解をもつので、
 (このとき、重解はを満たします)
の最大値:,最小値: ......[]


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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2010/09/17(金) 08:42:37|
  2. 10年数学
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