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九大理系数学'10年後期[1]

九大理系数学'10年後期[1]

直線 (ただしaは正の実数)lとし、曲線 (ただし)Cとする。曲線Cが直線lの下側にあり、曲線C上の点と直線lとの距離がで表されるとき、以下の問いに答えよ。
1.関数を求めよ。
2.曲線Cx軸で囲まれた図形を、x軸のまわりに回転させてできる回転体の体積Vを求めよ。
3Vが最大となるようにaの値を定めよ。

解答 標準的な微積分の計算問題ですが、3.では少し工夫します。

1.直線lと、曲線C上の点との距離がであることから、
 (点と直線の距離を参照)
曲線Cが直線lの下側にあることから、,よって、

t
xに入れ替えて、
......[]

2とすると、

のとき、
曲線
Cx軸で囲まれた図形は、の範囲に存在します。



......[]

3のままaで微分するのでは計算が大変になることは見えています。などとおくのでは分母の形が簡単にならずに不利です。分母を簡単にするのであれば、とおけばVが微分しやすい形になります。
そこで、とおきます。よりです。
 (微分の公式を参照)
x1
3

0
V0

増減表よりのときV最大(関数の増減を参照)となります。このとき、より、 ......[]


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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2010/09/10(金) 03:55:49|
  2. 10年数学
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