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横浜国大工数学'10年前期[4]

横浜国大工数学'10年前期[4]

abを正の実数とする。曲線
C
は領域Dに含まれている。次の問いに答えよ。
(1) が存在する範囲をab平面上に図示せよ。
(2) Cが囲む部分の面積が最大になるときのabの値を求めよ。

解答 東大96年前期[6]と実質的に同じ問題です。丁寧に場合分けして考えて行くことになります。なお、2次関数の最大・最小関数の増減を参照してください。

(1) 曲線C楕円です。曲線C上の点は、q を媒介変数として、
 ・・・① (2次曲線の媒介変数表示を参照)
と表すことができます。点が、領域Dに含まれるとき、


 ・・・②
①のが曲線C上を動くとき、は、となるすべての実数値をとります。
()とおくと、②は、
() ・・・③
(i) のとき(のグラフは下に凸)
かつ
よって、

これより、 ・・・④
(ii) のとき、
()
よって、

 ・・・⑤
(iii) のとき(のグラフは上に凸)
軸の位置: ()1より左か右かでさらに場合分けします。
より、(a) (b) で場合分けします。
(a) のとき、つまり、のとき、
(i)と同様に、 ・・・⑥
(b) のとき、つまり、のとき、
の最大値:
 ・・・⑦
④,⑤,⑥,⑦より、
のとき
(④,⑤,⑥をまとめて)のとき、
とすると、
とすると
a0

1

0
00

以上より、が存在する範囲をab平面上に図示すると、右図黄緑色着色部(a軸上、b軸上を除き、他の境界線を含む)
これを見ると、求める範囲を、
のとき、のとき、
と言い換えることができます。

(2) 楕円Cが囲む面積Sは、長軸、短軸の長さが (もしくは、)となるので、
 ・・・⑧
の範囲でaを固定すると、Sbが最大値をとるときに最大値をとり、ここでaを動かすと、
の範囲で
aを固定すると、Sbが最大値をとるときに最大値をとります。
とすると、
とすると、においては
a

1

0
0

増減表より、のとき最大値をとり、このとき、は最大値をとり、となります。
......[]
別解.⑧のグラフを(1)の図に描き込むと、a軸,b軸を漸近線とする直角双曲線になります。直角双曲線はSを大きくすると右上にずれて行きます。直角双曲線は下に凸なので、
() ・・・⑨
と接するときにS最大となります。
⑧と⑨を連立して、
2乗して整理すると、
 ・・・⑩
⑧と⑨が接するとき、⑩が重解をもつのでのグラフの傾きが0より


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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2010/09/06(月) 10:34:35|
  2. 10年数学
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