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静岡大理数学'10年[2]

静岡大理数学'10[2]

次の問いに答えよ。
(1) 不等式が成り立つことを示せ。
(2) 関数の増減、グラフの凹凸を調べ、グラフの概形をかけ。

解答 として、を既知として認めてしまえば単なる計算問題ですが、以下では、を既知としないでやってみます。素直に考えて行くと泥縄式になってきますが、数学の勉強、とは、そういうものかも知れません。

(1)
(積の微分法を参照)
とすると、
より,よって、

においては増加,においては減少(関数の増減を参照)
以上より、は単調増加。
ここで、としたときに、
0以上の値に近づいて行けばが言える ・・・① のですが、問題は、です。
のときを既知としてもよいかも知れませんが、ここでは、確認しておくことにします。
においてのときなので、を言うためには、
においてとなり、のときとなる関数を見つけてきて、
はさみうちにすることになります。
の候補は、です。のとき、です。において、であってくれればよい
(元の不等式に戻ってしまいます)のですが、xで両辺を割ると、になるので、の最小値を調べてみます。
とすると、
においてよりは減少、においてよりは増加。
よって、において最小値 ()をとります。よって、において、
両辺にxをかけて、

目標の不等式が成り立つことを示せてしまいました。
また、における不等式、
において、とすると、となり、はさみうちの原理より、
これより、①において、となるので、やはり、
となります。ですが、この証明はの最小値を考えることにより、既にすんでいます。(1)の答案としては、以下のようなものになるでしょう。

を考える。

とすると、
においてよりは減少、においてよりは増加。
よって、において最小値
()をとる。よって、において、
両辺にx ()をかけて、


問題文を見ただけで最初から以上のような答案を書くのは難しいと思いますが、の増減からを言うためには、というところから思いつけば、充分に試験会場で間に合うはずです。

(2)

とすると、
とすると、
のときのとき

x0


×0
×0
y×

(1)の結果よりにおいて,ここで、とするとはさみうちの原理より,よって、
増減表
(関数の増減関数の凹凸を参照)より、グラフは右図実線(白マルは除く)

追記.上記と同様に、が問題になることがあります。上記と同じようにやろうとして、の各辺にxをかけての形ではさみうちに持ち込もうとしても、のときなので、そもそも、という不等式が成立しません。
そこで、では、の各辺にをかけることを考えます。まず、の最小値を調べます。
とすると、
においては減少,においては増加。
の最小値:より、
よって、
各辺にをかけて、
ここでとすると、,はさみうちの原理より、


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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2010/09/01(水) 14:09:28|
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