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北大数学'10年後期[4]

北大数学'10年後期[4]

座標平面上の点を点に移す点の移動f が行列を用いて
で表されるとき、f 1次変換という。このときA1次変換f を表す行列という。
tを実数とし、座標平面上に3PQRをとる。
(1) PQに移し、QPに移す1次変換gを表す行列を求めよ。
(2) さらに、gRR自身に移すとする。このときのt Rを求めよ。
(3) 上で求めたRのうちであるものについて、集合が集合と等しくなるような1次変換f の個数を求めよ。ただし、PQRf で移した点をそれぞれとする。

解答 1次変換に関する問題ですが、本問では、行列に関する以下の技巧を使います。

2個の1次独立なベクトルについて、
 ・・・①
であれば、

 
(行列の積を参照)
より、①の2式を1つにまとめて、
 ・・・()
と書くことができます。

(1) より、gを表す行列をBとして、
()を用いて、
を右からかけて(逆行列を参照)
......[]

(2) より、

両式とも変形すると、同一の方程式、
となり、 ......[]
のとき、Rのとき、R ......[]

(3)(i) (1)(2)1次変換gは、より、
 ・・・①
を満たします。
(ii) 恒等変換e (任意のベクトルについて)を表す行列は、単位行列ですが、となるので、①を満たします。
①となる可能性は(i)(ii)以外に、
(iii)
(iv)
(v)
(vi)
4通りしかありません。
(iii)が成り立つとすると、より、

を右からかけて、
このとき、
より、となり、①を満たします。
(iv)が成り立つとすると、より、

を右からかけて、
このとき、
より、となり、①を満たします。
(v)が成り立つとすると、より、

を右からかけて、
このとき、
より、となり、①を満たします。
(vi)が成り立つとすると、より、

を右からかけて、
このとき、
より、となり、①を満たします。
以上より、①を満たす
1次変換は(i)(vi)の、6 ......[]

追記.本問では、行列や3点の座標が具体的に指定されていますが、指定なしで考えてみます。三角形ABC3頂点ABCの位置ベクトルをとし、1次独立だとします。stを実数として、
とおくことができます。
 ・・・①
を満たす可能性は、上記で書いたように以下の6通りしかありません。
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
(v)
(vi)
(ii)は恒等変換で①は満たされます。
(i)が成り立ち、f を表す行列が存在するとして、

1次独立なのでは正則(逆行列が存在)で、右からをかけて、
としてAが定まります。
となるために、
これよりであれば、①は満たされます。
以下同様に(iii)(iv)においてもが存在して1次変換fを表す行列が定まります。
(iii)が成り立つとすると、
となるために、
これより、 かつ ,従って、 または かつ'となりますが、‘かつ'のときにはとなり三角形ができません。
であれば、①が満たされます。
(iv)が成り立つとすると、
となるために、
これより、 かつ ,従って、 または かつ'となりますが、‘かつ'のときにはとなり三角形ができません。
であれば、①が満たされます。
(v)が成り立つとすると、
となるために、
これより、 かつ ,従って、であれば、①は満たされます。
(vi)が成り立つとすると、
となるために、
これより、 かつ ,従って、であれば、①は満たされます。
従って、1次独立であればf を表す行列が存在し、
であれば、
(i)(vi)6個の1次変換が①を満たします。
であれば、
(i)(ii)2個の1次変換が①を満たします。
または であれば、(i)(ii)(iv)(v)4個の1次変換が①を満たします。
本問では、
とすると、となるので、①を満たす1次変換は6個ある、ということになります。


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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2010/08/24(火) 21:32:40|
  2. 10年数学
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