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札幌医大数学'10年[4]

札幌医大数学'10[4]

整数nに対して、を次式で定義する。
(1) を求めよ。
(2) が成り立つことを示せ。
(3) (ただしは有理数)と表されることを示せ。またのときのを求めよ。必要ならばpが無理数であることを用いてよい。

解答 (1)(2)はよくある積分計算問題(三角関数の積分を参照)ですが、(3)が変則的な数学的帰納法になります。

(1) より、
......[]





......[]

(2)
 (部分積分法を参照)





(3) 数学的帰納法により示します。の場合も考えて示す必要があります。
() のとき、(1)より、
よって、 (有理数) (有理数)とすれば、
(ただしは有理数)と表されます。
() のとき、 (ただしは有理数)と表されるとします。
(2)において、とすることにより、


(有理数) (有理数) ・・・①
とすることにより、のときにも、
(ただしは有理数)と表されます。
()()より、nが負の整数のとき、 (ただしは有理数)と表されます。

のときを調べます。
()
のとき、 (有理数) (有理数)とすれば、
(ただしは有理数)と表されます。
() のとき、 (ただしは有理数)と表されるとします。
(2)において、とすることにより、


(有理数) (有理数)
とすることにより、のときにも、
(ただしは有理数)と表されます。
()()より、n0以上の整数のとき、 (ただしは有理数)と表されます。

①を繰り返し用いることにより、ゆえ、のとき、

......[]


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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2010/08/18(水) 08:49:16|
  2. 10年数学
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