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一橋大数学'10年前期[4]

一橋大数学'10年前期[4]

0以上の整数が与えられたとき、数列
により定める。
(1) のとき、10で割った余りを求めよ。
(2) のとき、10の倍数であることを示せ。

解答 3項間漸化式整数の融合問題ですが、(2)はともかく、(1)をどうやって攻めるかが大問題です。試験時間のことを考えるのであれば、以下のように泥臭く対応するべきではないでしょうか。

(1) 3項間漸化式: ・・・①
特性方程式は、
 ・・・②
これより、は、初項,公比等比数列です。
 ・・・③
 ・・・④
これより、は、初項,公比3の等比数列です。
 ・・・⑤
⑤-③より、

 ・・・⑥
10で割った余りを調べるために、⑥の中カッコ内を100で割ったときの余りを調べます。
3をどんどんかけていって、100で割ったときの余り、つまり、下2桁がどうなるかを調べます。ここで、の下2桁が‘01'となることに着目(です)すると、
より、で、の下
2桁は‘01'なので、より、の下2桁は‘83'です。
また、の下
2桁が‘04'になることに着目(です)すると、
より、の下
2桁は‘04'なので、より、の下2桁は‘-12'です。
よって、⑥の中カッコ内を
100で割ったときの余りは、より20で、⑥より、10で割った余りは、 ......[]
別解.整数m10で割った余り、つまり、整数mの最下位桁の数字をと表すと、pqrsを整数として、
 ・・・⑤
が成り立ちます。
なぜなら、
ijklを整数()として、と書けたとすると、
より、
また、
となるからです。実は、上記の解答で既にこの考え方を使っています。
10で割った余り、つまり、について、漸化式:と⑤より、
 ・・・⑥
⑥でとして、
同様に、
これより、連続する2項、について、
よって、⑥より、
同様にして、以後、 ()となります。
これより、数列は、について、周期
20で繰り返すことがわかります。
......[]

(2) ②より、は、初項,公比の等比数列です。
 ・・・⑦
④より、は、初項,公比
3の等比数列です。
 ・・・⑧
⑧-⑦より、

よって、10の倍数です。


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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2010/08/14(土) 01:04:09|
  2. 一橋大数学'10年
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