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慶大医数学'10年[2]

慶大医数学'10[2]

以下の文章の空欄に適切な数または式を入れて文章を完成させなさい。また、設問(2)(ii)に答えなさい。
座標平面において
A (ただし)x軸上の定点とし、曲線Cを双曲線に対する部分とする。曲線C上の点Qに対し、点Pが直線上を動くときのの最小値をと定義する。
(1) Qに対してaの式で表すとであり、Qに対してはである。
(2) さらにQが曲線C上を動くときのの最小値を考える。
(i) Qにおいて最小値をとるのはのときであり、Qにおいて最小値をとるのはのときである。
(ii) Qにおいて最小値をとるようなaの範囲を求めなさい。

解答 答えだけなら容易にわかってしまうので、空所補充問題としては難問とは言えませんが、仮に、きちんと論述する、ということになると厄介な問題です。なお、2次関数の最大・最小を参照してください。

双曲線Cと直線を図示すると右図のようになります。
両式を連立すると、より、においては、
双曲線
Cと直線の交点はです。

(1)() Qに対して、を最小とする、直線上の点Pは、Aに関する対称点Qを結ぶ直線と直線との交点です。
これ以外の直線上の点について、三角形の2辺の和は他の1辺より大きいので、
となるからです。
の最小値は、
......[]
() QAは直線の逆側にあるので、このQに対して、の最小値は、
......[]

(2)(i)() Qが、直線よりも下にある、つまり、領域内にあるとき、の最小値はです。
双曲線上の点のy座標をt ()とすると、x座標はです。

 ・・・①
のときに最小となりますが、なので、,つまり、である必要があります。
領域内の点
Qにおいて最小となるのは、Qy座標について、となるので、,つまり、 ......[] のときです。
() Qが、直線よりも上にある、つまり、領域内にあるとき、の最小値はです。
双曲線上の点のx座標をs ()とすると、y座標は ()です。

 ・・・②
のときに最小となりますが、なので、,つまり、である必要があります。
領域内の点
Qにおいて最小となるのは、Qx座標について、となるので、,つまり、 ......[] のときです。
(ii) Qに対して、の最小値は、
①で,②でとしたときにも、 (とおきます)となります。
(i)を整理すると、
・領域内に存在する双曲線上の点においてが最小値をとれば、
・領域内に存在する双曲線上の点においてが最小値をとれば、
ということになります。
問われていることには直接関係しませんが、のときとのときについて最小を考えてみます。
(a) のとき、
Qが領域内に存在する双曲線上を動くとき、①においての範囲をtが動くので、は、 ()のとき最小値をとります。
Qが領域内に存在する双曲線上を動くとき、②においての範囲をsが動くので、であることからであってsの増加関数で、です。
においては、
より、なので、Qが双曲線の部分を動くと、は、のとき最小値をとります。このとき、Qは双曲線Cの部分にあります。
(b) のとき、
Qが領域内に存在する双曲線上を動くとき、②においての範囲をsが動くので、は、 ()のとき、最小値をとります。
Qが領域内に存在する双曲線上を動くとき、①においての範囲をtが動くので、であることからであってsの減少関数で、です。
においては、
より、なので、Qが双曲線の部分を動くと、は、のとき最小値をとります。このとき、Qは双曲線Cの部分にあります。
(a)(b)より、のときには、Qは双曲線C以外の点で最小となります。
さて、
(a)(b)と同様に、の場合を調べてみます。試験会場ではこの場合だけ考えればOKです。
Qが領域内に存在する双曲線上を動くとき、①においての範囲をtが動くので、であることからtの減少関数で、
Qが領域内に存在する双曲線上を動くとき、②においての範囲をsが動くので、であることからsの増加関数で、
これより、のときに、は、
Qに来たときに最小になります。よって、Qにおいて最小値をとるようなaの範囲は、 ......[]


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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2010/08/08(日) 10:37:10|
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