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静岡大数学'10年[1]

静岡大数学'10[1]

kを定数とする。2次方程式2つの実数解ab をもち、ab を満たすものとする。このとき、次の問いに答えよ。
(1) kの値の範囲を求めよ。
(2) kを用いて表せ。
(3) ab の差が整数であるときのkおよびab の値を求めよ。

解答 2 次関数・2次方程式と整数の融合問題です。

(1) とおくと、2次方程式解が、2実数解ab をもつので、です。
のグラフは下に凸な放物線で、ということは、においてにおいてにおいてとなる(2次関数を参照)ということです。よって、
2次方程式の解ab かつ  (2次方程式の解の配置を参照)
 ・・・①
 ・・・②
①かつ②より、
......[]

(2) 2次方程式の判別式D
2次方程式2解は、
 ・・・①
 (2次方程式の一般論を参照)
......[
]

(3) pを整数として、とすると、(2)を用いて、

として、(1)よりですが、なので、においては単調減少です。

これを満たす平方数は、のみです。このとき、で、

より、 ......[]
①より、
......[]


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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2010/08/06(金) 14:38:46|
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