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名大数学'10年[2]

名大数学'10[2]

関数について、次の問いに答えよ。必要ならば、任意の自然数nに対して
が成り立つことを用いてよい。
(1) のグラフの変曲点を求め、グラフの概形をかけ。
(2) とする。点を通るのグラフの接線が1本だけ存在するようなaの値を求めよ。また、aがその値をとるとき、のグラフのの部分、その接線およびy軸で囲まれた図形の面積を求めよ。

解答 微積分の標準的な問題ですが、ややこしい計算は慎重に行う必要があります。

(1)
 (積の微分法を参照)
とすると、

このとき、より、

 (複号同順)
とすると、
より、
また、より、

x

1

4
00
00
0

変曲点は、 ......[]
グラフの概形は右図黒色実線(関数の増減関数の凹凸を参照)

(2) のグラフ上の点における接線は、
 ・・・①
を通るので、
この右辺を、とおくと、
とすると、
t

0
1
4


000
0(0)

増減表より、接線がただ1本引ける、即ち、方程式:がただ1つの解をもつのは、 ......[] のときです(微分法の方程式への応用(2)を参照)
このとき、より、の解はです。
①に、を代入すると、接線の方程式は、
 ・・・②
において、接線②(右上図青色実線)は、曲線よりも上にあります。のグラフのの部分、その接線およびy軸で囲まれた図形(右上図黄緑色着色部)面積Sは、
 (部分積分法を参照)



 (C:積分定数) ・・・③
より、


......[]
追記.③の計算はミスしやすいので、
より、となり、
とする方が実戦的です。


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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2010/08/02(月) 19:48:03|
  2. 10年数学
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