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北大数学'10年後期[3]

北大数学'10年後期[3]

1辺の長さがaの正三角形から出発して、多角形,・・・,,・・・・・・ を次のように定める。
(i) AB1辺とする。辺AB3等分し、その分点をAに近い方からPQとする。
(ii) PQ1辺とする正三角形PQRの外側に作る。
(iii) ABを折れ線APRQBで置き換える。
のすべての辺に対して(i)(iii)の操作を行って得られる多角形をとする。
以下の問いに答えよ。

(1) の周の長さanで表せ。
(2) の面積anで表せ。
(3) を求めよ。

解答 フラクタルをテーマにした問題です。本問の操作によって得られる曲線をコッホ曲線と言います。図形の1部分をどんどん拡大していくと、普通は、だんだん滑らかな図形が現れてくるのですが、コッホ曲線のように、フラクタルでは拡大するとどんどん複雑な図形が現れてくるようになります。海岸線や雪の結晶など、自然界の現象では、フラクタルのような図形が現れることが知られています。

(1) の周囲の長さは、長さa1辺が3辺あるので、です。
からを作るとき、1辺の長さは、操作(i)3等分されます。よって、1辺の長さは、です(等比数列を参照)
また、からを作るとき、辺の個数は、
1ABから、APPRRQQB4個の辺ができます。よって、の辺の個数は、個です。
よって、の周の長さは、
......[]

(2) の面積は、
からを作るとき、の各辺について、1つの辺に接するように正三角形1個が付け加わり、正三角形の個数分の面積が増大します。正三角形の個数はの辺の個数に一致し、個です。
を作るときに付け加わる正三角形
1個の面積は、の面積ので、です。
のとき、を作るときに付け加わる正三角形
1個の面積は、を作るときに付け加わる正三角形1個の面積の(辺の長さは)です。のときもこうなります。
よって、のとき、からを作るときに増大する面積は、
 (階差数列を参照)

......[] (のときも成り立ちます)

(3) のとき、より、 (等比数列の極限を参照)
......[]
追記.(3)の結果と、より、操作を無限に繰り返していくと、は、有限な面積をもつのに、無限に周の長い図形になっていくことがわかります。


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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2010/07/20(火) 21:46:22|
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