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京大理系数学'10年甲[3]検討

京大理系数学'10年甲[3]検討

[3](解答はこちら) 本問は、角の最大をどうとらえるか、ということも課題ですが、直線とx軸とのなす角の正接を考えれば、関数
の最大値をどうやって求めるか、という問題に帰着します。
最大、最小の問題なので、機械的に微分してしまいがちです。

において、ではでは,よって、で極大かつ最大で、最大値はとなります。
微分による解法の場合、微分の計算が煩雑になることが多く、導関数が必ずしも見やすい形にならないこともありますが、時間をかければ必ず解答できるという安心感があります。ですが、面倒な微分の計算をし終わってから、別のラクな解法に気づいても手遅れです。
本問では、解答のように相加平均・相乗平均の関係を利用するという技巧を用いることにより、煩雑な計算なしで最終解答が得られます。
但し、相加平均・相乗平均の関係では、等号成立条件が必ず成立するというわけではありません。
例えば、の最小値を求める問題で、という条件がつくと、の等号成立条件,つまり、が成立せず、最小値を求めることができません。
ですが、技巧がうまく使えない、ということに気づくのに大した時間はかからないでしょう。
従って、こうした最大最小問題では、最初から微分して後でラクな解法に気づいて後悔する、ということにならないように、まず、微分を使わない解法を試し、うまく行かなかったら、微分する、という方針で行くべきです。
ちなみに、本問では、

とおいて、分母を払い、2次方程式:
が実数解をもつ条件、
判別式:
より、
として、最大値
1を求める、という解法もあります。


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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2010/05/25(火) 00:18:25|
  2. 京大数学'10年
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