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京大理系数学'10年甲[2]

京大理系数学'10[2]

四面体ABCDにおいてはそれぞれ垂直であるとする。このとき、頂点A,頂点Bおよび辺CDの中点M3点を通る平面は辺CDと直交することを示せ。

解答 空間ベクトルの問題ですが、無理に1次独立な3つのベクトルを持ち出さずとも、内積計算で平凡に解決します。

題意より、

 ・・・① (内積を参照)
目標は、頂点A,頂点Bおよび辺CDの中点M3点を通る平面を作る1次独立なベクトルと、が垂直であることを示すことです。
 ・・・②
 ・・・③
①より、
 ・・・④
 ・・・⑤
 ・・・⑥
④,⑤,⑥より、
②より、

同様に、①より、
 ・・・⑦
 ・・・⑧
 ・・・⑨
⑦,⑧,⑨より、
③より、

よって、頂点A,頂点Bおよび辺CDの中点M3点を通る平面は辺CDと直交します。


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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2010/03/09(火) 07:58:57|
  2. 京大数学'10年
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