FC2ブログ

CHALLENGE from the VOID

大学入試問題を考える - 数学・物理 -

CFV21 ご入会のおすすめ
理工系受験生の方は
こちらをご覧ください
当会の活動にご支援頂ける方は
こちらをご覧ください

センター試験「数学」の必勝法はこちら
センター試験「物理」の必勝法はこちら

理工系受験生必見!! 2010-2007入試問題検討ページ(東大・東工大・京大・早慶) 
CFV21での学習の進め方

スポンサーサイト

上記の広告は1ヶ月以上更新のないブログに表示されています。
新しい記事を書く事で広告が消せます。
  1. --/--/--(--) --:--:--|
  2. スポンサー広告

東大理系数学'10年前期[6]

東大理系数学'10年前期[6]

四面体OABCにおいて、4つの面はすべて合同であり、であるとする。また、3OABを含む平面をLとする。
(1) Cから平面Lにおろした垂線の足をHとおく。を用いて表せ。
(2) をみたす実数tに対して、線分OAOB各々をtに内分する点をそれぞれとおく。2を通り、平面Lに垂直な平面をMとするとき、平面Mによる四面体OABCの切り口の面積を求めよ。
(3) tの範囲を動くとき、の最大値を求めよ。

解答 空間的な発想力とか思考力というよりも、面倒な計算を強いられる空間ベクトルの問題です。体力派の諸氏以外は、基本問題の(1)はともかく、実戦的には後回しにするのが無難だろうと思います。

(1) 4つの面が合同、ということで、右図のように、

 
(内積を参照)

H
は△OABを含む平面L上の点なので、ab を実数として、
とおくことができます(ベクトルの1次独立を参照)
CHは平面Lに垂直なので、,よって、
 (内積を参照)

 ・・・①

 ・・・②
①,②を連立して、
......[]

(2) ですが、直線上の点をKとして(共線条件を参照)
 ・・・③
Hが線分上に位置するときのtpの値を調べます。(1)の結果と③の係数を比較して、

③より、
 ・・・④
と書けるので、のときの点,点を特に点P,点Qとすると、Hは線分PQ上の点になっています。また、点Hを通り平面Lに垂直な平面は△CPQを含む平面であり、2を通り平面Lに垂直な平面Mは、(CPQを含む平面であることを含めて)CPQに平行です。さらに言えば、△CPQPQを通る平面Mによる四面体の切り口なので、△CPQの面積は、のときの,つまり、です。
従って、平面
Mによる四面体OABCの切り口の面積を求めるためには、△CPQの面積を求め、相似比を考えることになります。
ここで、右図のように、△
CPQと平行で辺ABを通る平面(従って平面Lに垂直)と直線OCとの交点をDとすると、△CPQと△DABは相似で、
PQAB = OPOA = 1
より、△CPQの面積と△DABの面積の比は(面積比・体積比を参照)
=1 ・・・⑤
DABの面積を求めるために、を調べます。
OPOA = OQOB = OCOD = 1
より、



よって、△DABの面積(三角形の面積を参照)
⑤より、△CPQの面積は、
(i) が線分OP上、線分OQ上にあるとき(端点Oを除く)、つまり、のときは、⑤と同様に、
AB =OA = t1
=1
 ・・・⑥
注.上記で、直線OHと直線BAとの交点をEとして、④より、
とわかるので、
とすることもできます。

(ii) が線分PA上、線分QB上にあるとき(両端を除く)、つまり、のとき、平面Mと直線OC,直線BC,直線ACとの交点をとして、平面Mによる四面体OABCの切り口は、△ではなく、△から△を取り除いてできる四角形になります。
OB= 1
OD = t1OC =
よって、△において、メネラウスの定理より、
これより、△と△の面積の比は、
:△=
の面積は、のときのと同じ式で与えられ、となるので、切り口の四角形の面積は、
以上まとめて、
......[]

(3) においては単調増加で、
において、
これは、ゆえ、のとき最大値: ()をとります(2次関数の最大最小を参照)
tを動くときのの最大値は、 ......[]


TOPに戻る   CFV21 メイン・ページ   考察のぺージ

(C)2005,2006,2007,2008,2009
(有)りるらる
CFV21 随時入会受付中!
CFV21ご入会は、まず、
こちらまでメールをお送りください。
 雑誌「大学への数学」購入
スポンサーサイト

テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2010/03/01(月) 16:57:54|
  2. 東大数学'10年
  3. | トラックバック:0
  4. | コメント:0
<<東工大数学'10年前期[1] | ホーム | 東大理系数学'10年前期[5]>>

コメント

コメントの投稿


管理者にだけ表示を許可する

トラックバック

トラックバックURLはこちら
http://cfv21.blog49.fc2.com/tb.php/1032-65ba0fd6
この記事にトラックバックする(FC2ブログユーザー)
上記広告は1ヶ月以上更新のないブログに表示されています。新しい記事を書くことで広告を消せます。