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東大理系数学'10年前期[4]

東大理系数学'10年前期[4]

Oを原点とする座標平面上の曲線
C
と、その上の相異なる2を考える。
(1) ()を通るx軸に平行な直線と、直線との交点を、それぞれ ()とする。このときの面積は等しいことを示せ。
(2) とする。このときCの範囲にある部分と、線分とで囲まれる図形の面積を、を用いて表せ。

解答 工夫の必要な求積問題ですが、問題文の指定を活かすことにより、面倒な計算を回避できます。

(1) y座標はですが、直線上の点なので、x座標もy座標と等しく、となります。
,つまり、原点O3頂点とする三角形の面積は、
,つまり、原点O3頂点とする三角形の面積は、
曲線C上の点の座標を使って表されているが同じ形をしているので、曲線C上の点について、がどういう値になるかを調べてみます。

(一定) ・・・①
従って、

(2) 求める面積をS,曲線Cx軸、直線で囲む面積をとしての面積をの面積をとして、となる場合を含めて、
(i) の場合、

(ii) の場合、

(iii) の場合、

いずれの場合も、
 ・・・②
問題文の要求は「を用いて表せ」ということなので、を使わずにで表すようにします。①を用いると、
 ・・・③
よって、
これより②は、
 ・・・④
また、曲線C上の点においては、より、の場合についても、
よって、③両辺をyで割って、
 ・・・⑤
さて、について、
 ・・・⑥ (定積分と面積を参照)
これも、を使わずで表すようにするために、
とおいて置換積分します。
 ・・・⑦
が困りますが、⑤を用いて、
 ( )
⑦に代入して、
よって、
xのときy
こうして、⑥は、
④に代入すると、
......[]


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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2010/02/28(日) 11:11:51|
  2. 東大数学'10年
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