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東大理系数学'10年前期[1]

東大理系数学'10年前期[1]

3辺の長さがabc の直方体を、長さがb1辺を回転軸として回転させるとき、直方体が通過する点全体がつくる立体をVとする。
(1) Vの体積をabcを用いて表せ。
(2) のとき、Vの体積のとりうる値の範囲を求めよ。

解答 東大としては古典的な2変数関数の問題です。1文字を固定することにより解決します。

(1) 立体Vの底面は右図のようになっています。黒実線の長方形を回転軸の回りに回転したときに長方形が通過する領域です。
立体Vの底面積Sは、半径の円のと、直角をはさむ2辺がcaの直角三角形2個を合わせて、
立体Vの体積Wは、
......[]

(2) ①より、abcはいずれも正数なので、です。abc3変数ありますが、関係式:
 ・・・①
があるので、実質的に2変数です。bを固定すると、
 ・・・②
よりcを消去することができます。ここで、より、
と合わせて、
 ・・・③
(1)の結果に②を代入して、




bを固定してWa2次関数と見ると、と③より、Wは、
 ・・・④
の範囲の値をとり得ます。
ここで、
とおくと、
とすると、

b0

1

0
00

,増減表より(3次関数の増減を参照)
これより、
bの範囲で動かすとき、のとり得る値について、
 ・・・⑤
が成り立ちます。よって、④より、Vの体積Wのとりうる値の範囲は、
......[]
追記.④,⑤でとなるのは、かつまたはのときです。のときにはのときにはです。つまり、直方体が薄くなり、その2辺が、かつ (このとき),または、かつ (このとき)の長方形薄板に近づくときです。
⑤でとなるのは、またはのときです。のとき、
acにかかわらず、となります。のとき、かつとなります。
これより、となるのは、直方体が、辺
bの方向に薄くなる(直方体が厚さ02辺がacの長方形に近づく。またはのときに長さ1の棒を回転する場合を含む)か長さ1の細長い棒になるときです。


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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2010/02/25(木) 23:53:56|
  2. 東大数学'10年
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