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早大理工数学'10年[4]

早大理工数学'10[4]

xyz空間において、2PQを考える。線分PQx軸の周りに1回転して得られる曲面をSとする。以下の問いに答えよ。
(1) 曲面Sと、2つの平面およびで囲まれる立体の体積を求めよ。
(2) (1)の立体の平面による切り口を、平面上において図示せよ。
(3) 定積分の値をと置換することによって求めよ。これを用いて、(2)の切り口の面積を求めよ。

解答 という定積分は、早大、慶大の入試でよく見かけます。


Iを移項して2で割ると、
カッコ内の積分は、
を利用して、
(C:積分定数)
とすることが多い(早大理工98[5]など)のですが、ここでは、双曲線関数を使って置換積分する技巧を使うように指定されています。なお、置換積分(その3)を参照してください。

(1)
 (線分PQ上の点では)
平面と直線PQの交点Rは、
Rx軸の周りに1回転してできる円の半径は点Rx軸との距離、即ち、点との距離に等しく、その2乗は、
 ・・・①
この円は、曲面Sを平面で切ったときにできる円です。円の面積は、
Rが線分PQ上にあるときは、より、x座標kは、となります。
曲面
Sと、2つの平面およびで囲まれる立体Kの体積Vは、より、
......[]

(2) (1)の立体K内の点をとすると、立体Kを平面 ()で切ったときにできる断面の円内の点は、(1)に出てきた、を中心とし半径の2乗を①とする円周の内側となるので、①より、
()
を満たします。ここで、x座標kxに書き換え、とすると、立体Kの平面による切り口内の点は、
()
を満たします。境界線(右図実線)は、
 ・・・②
と、直線,直線ですが,②は、を漸近線(右図青線)とする双曲線です。
これより、切り口を図示すると、右図黄緑色着色部分
(境界線を含む)

(3) は、と置換すると(置換積分を参照)
とすると、
とすると、
()
よって、
tのとき、s


 ( )


②より、
(2)の図より切り口はz軸,x軸に関して対称で、切り口の面積は、双曲線と直線x軸、z軸で囲まれる部分の面積の4倍に等しく、
......[]


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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2010/02/20(土) 10:24:21|
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