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早大理工数学'10年[3]

早大理工数学'10[3]

abを実数とし、xy平面上の次の2つの関数のグラフについて考える。
 ・・・①
 ・・・②
以下の問いに答えよ。
(1) ①,②がただ1つの共有点をもつとき、baで表し、そのグラフをab平面上に図示せよ。
(2) (1)のグラフをと表す。定数pに対して
を最大にするaおよびその最大値を求めよ。

解答 (2)は細かくて神経がすり減りますが、難問というわけではなく、丁寧に解答しましょう。

(1) ①:のグラフは、の部分のグラフと、これをy軸に関して対称移動させたグラフを、点Pにおいてつなぎ合わせたグラフです。
(微分の公式を参照)より点Pにおける接線の傾きは1です。また、のグラフをy軸に関して対称移動させたグラフの点Pにおける接線の傾きはです。
は、において、また、において、下に凸、またなので、直線②がを通るとき、つまり、のとき、直線の傾き
aが、,あるいは、のときには、①と②は、以外にも共有点をもってしまいます(微分法の方程式への応用2を参照)。従って、
(i) ただ1つの共有点がのとき、
かつ
(ii) ただ1つの共有点がの部分に存在するとき、その共有点をQ ()として、直線②はQにおける①の接線になります。
において①は ()になるので、接線の傾きaについて、

接線が点Qを通ることから、

より、
()
これよりbにおいて単調減少(関数の増減を参照)
のときのとき
(iii) ただ1つの共有点がの部分に存在するとき、において①は ()であって、(ii)と同様に直線②は共有点Q ()における接線です。接線の傾きについて、

接線が点Qを通ることから、

より、
においてとするとになるので、
()のグラフは、 ()のグラフをb軸に関して対称移動させたグラフです。
以上より、のときのときのとき,求めるグラフは右図実線。

(2)
(i) において、
 (微分の公式を参照)
とすると、
のとき、
a1


0

この範囲では最大値は(関数の増減を参照)
のとき、
この範囲においては単調減少で、
(ii) において、
のときは単調増加で、この範囲では最大値は
のときより、この範囲における最大値も1
のときは単調減少で、この範囲では最大値は
(iii) において、
とすると、
のとき、
この範囲においては単調増加で、
のとき、
a

0

この範囲では最大値は
以上より、
のとき、においての最大値においての最大値において
より、最大値は
のとき、においてにおいてにおいて
最大値はにおいて
のとき、においてにおいての最大値においての最大値
より、最大値は
まとめると、
のとき、において最大値
のとき、において最大値1
のとき、において最大値 ......[]


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