FC2ブログ

CHALLENGE from the VOID

大学入試問題を考える - 数学・物理 -

CFV21 ご入会のおすすめ
理工系受験生の方は
こちらをご覧ください
当会の活動にご支援頂ける方は
こちらをご覧ください

センター試験「数学」の必勝法はこちら
センター試験「物理」の必勝法はこちら

理工系受験生必見!! 2010-2007入試問題検討ページ(東大・東工大・京大・早慶) 
CFV21での学習の進め方

慶大理工数学'10年[B1]

慶大理工数学'10[B1]

aを正の定数とし、座標平面上の曲線Cと直線lを考える。
(1) 曲線Cと直線lがただ1つの共有点Aをもつとき、定数aの値と点Aの座標を求めなさい。求める過程も書きなさい。
(2) (1)のとき、曲線C,直線l,およびy軸で囲まれる図形をy軸のまわりに1回転してできる回転体の体積Vを求めなさい。求める過程も書きなさい。
(3) a(1)で求めた値より小さい正の定数とする。このとき、直線lは曲線Cと共有点をもたない。点Pが曲線C上を動き、点Qが直線l上を動くとき、線分PQの長さが最小となるのは、点Pの座標がのときである。この点Py軸上にあるのはのときであり、このとき最小の線分の長さを求めるととなる。

解答 この問題も教科書の例題レベルの問題です。(3)[A3]と同一趣旨の問題です。

(1) 曲線Cは下に凸な曲線なので、曲線Cと直線lがただ1つの共有点をもつとき、直線lは曲線C接線になっています。
C
直線lCの接線になるとき、接線の傾きはaなので、
 ・・・①

接点はC上の点であってかつl上の点なので、そのy座標について、
 ・・・②
よって、より、接点のx座標は、
接線の傾きaは、①より、
......[]
接点のy座標は、②より、
共有点Aの座標は、 ......[]
別解.定数aの分離によっても解答できます(微分法の方程式への応用(2)を参照)
Clの方程式を連立して、
はこれを満たさないので、xで割って、
 ・・・③
Clがただ1つの共有点をもつとき、方程式③もただ1つの実数解をもち、この実数解が共有点のx座標になります。
とおいて、
とすると、
x
0

×0
×

より(関数の増減を参照)のとき方程式③はただ1つの実数解をもち、接点のx座標はになります。

(2) (1)のとき、直線lは、 となります。求める体積Vは、底面が半径の円で高さeの円錐の体積から、曲線Cy軸と直線で囲まれる部分をy軸のまわりに回転させた回転体の体積を引いたものになります(y軸のまわりの回転体を参照)
両辺の対数を考え、
 (部分積分法を参照)


......[]

(3) 線分PQの長さが最小になるのは、Pにおいて曲線Cに傾きaの接線が引けるときで、(1)の①,②と同様にして、接点のy座標は、
この両辺の対数を考えると、
接点のx座標は、
線分
PQの長さが最小となるときのPの座標は、 ......[]
Py軸上にあればx座標は0で、
......[]
このとき、Pの座標は,最小の線分の長さは、Pと直線lとの距離として、
......[] (点と直線の距離を参照)


TOPに戻る   CFV21 メイン・ページ   考察のぺージ

(C)2005,2006,2007,2008,2009
(有)りるらる
CFV21 随時入会受付中!
CFV21ご入会は、まず、
こちらまでメールをお送りください。
 雑誌「大学への数学」購入
スポンサーサイト

テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2010/02/17(水) 20:16:36|
  2. 慶大理工数学'10年
  3. | トラックバック:0
  4. | コメント:0
<<早大理工数学'10年[1] | ホーム | 慶大理工数学'10年[A4]>>

コメント

コメントの投稿


管理者にだけ表示を許可する

トラックバック

トラックバックURLはこちら
http://cfv21.blog49.fc2.com/tb.php/1020-f7292b60
この記事にトラックバックする(FC2ブログユーザー)