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慶大理工数学'10年[A4]

慶大理工数学'10[A4]

正の整数nkに対して、x3次関数
を考える。3次方程式が相異なる3つの実数解をもつような正の整数の組を見つけたい。
の導関数をとする。が相異なる
3つの実数解をもつならば、の相異なる実数解の個数は個でなければならない。これより、nkの満たす不等式
 ・・・①
が得られる。
次にとおくと、も相異なる
3つの実数解をもたなければならない。これより、①を得たのと同様にして、nkの満たす不等式
 ・・・②
が得られる。
正の整数
nを与えるとき、連立不等式①,②を満たす正の整数kをすべて求めると
3つである。に対して、方程式を考えると、これはnに無関係に定まる解nを用いて表される2つの解
3つの実数解をもつ。

解答 枠の形がヒントになっています。誘導にうまく乗って解答を進めましょう。

()
が相異なる3つの実数解をもつならば、の相異なる実数解の個数は2個でなければなりません(微分法の方程式への応用を参照)
2 ......[]
() よって、2次方程式の判別式について、

 ・・・①
......[]
()
①を得たのと同様にして、2次方程式の判別式について、


 ・・・②
2 ......[]
() ①について、より、
 ・・・③
②について、より、
 ・・・④
①とより、
 ・・・⑤
②とより、
 ・・・⑥
⑤,⑥より、
この不等式を満たす整数kは、③,④を考慮すると、
即ち、
......[]
() のとき、
 ・・・⑦
nに無関係に定まる解」という問題文の記述から、x1,・・・と順に代入して行きます。

 ・・・⑧
これより、は解をもちます。
......[]
() ⑧よりを因数にもつ(因数定理を参照)ので、⑦ので割って、

以外の解は、
() ......[]


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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2010/02/17(水) 20:13:27|
  2. 慶大理工数学'10年
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