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名工大数学'09年前期[3]

名工大数学'09年前期[3]

実数xに対して
とおく。
(1) を求めよ。
(2) に対してとおく。の導関数を求め、に対して等式が成り立つことを示せ。
(3) (2)を利用して極限を求めよ。
(4) 極限を求めよ。

解答 の逆関数がネタになっているユニークな発想の問題です。

(1)
とおくと、tのとき、q (置換積分(その2)を参照)
......[]

(2)  ・・・①
実数x ()とおきます。定積分で、とおくと、tのとき、j

として、
 ・・・②
両辺をxで微分すると、②を用いて、
......[]
①両辺をxで微分すると、

両辺を積分すると、
 (C:積分定数) ・・・③
(1)より、
また、においてとすると、
③において、とすると、

よって③より、

(3) ①においてとすると、
 ・・・④
(2)の結果より、
......[]

(4) (2)の結果より、

のとき、④よりとなるので、 (極限の公式を参照)が使えないか、と、考えます。これで、②の利用が見えてきます。
②,④より、のとき、より、
......[]


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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2010/02/13(土) 13:58:25|
  2. 09年数学
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