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東京医科歯科大'09年[2]

東京医科歯科大'09[2]

正の実数abcを係数とする2次式に関して、次の条件Cを考える。
条件
C3で割り切れないすべての整数xについてが整数となる。
このとき以下の各問いに答えよ。

(1) が条件Cを満たすとき、は係数および定数項が整数となる1次式であることを示せ。
(2) 条件Cを満たすのうち、となるものを求めよ。
(3) 以下の条件が条件Cと同値となるような自然数の組のうち、が最小となるものを求めよ。
条件がいずれも整数となる。
(4) nを自然数とする。条件Cを満たすのうち、となるものの個数をnを用いて表せ。

解答 整数の問題ですが、(3)が答えにくい設問形式になっているなど、新傾向かつ難問です。
問題文を流し読みしただけでは、
(2)で、と条件Cだけでどうしてが求まるのか不思議に感じますが、が強力な制約条件になっており、ここから道が開けます。
また、こうした問題では、
xに簡単な数、などを代入して、感じをつかむことが大切です。本問でも、ここから手がかりが得られます。

(1)
xの係数:より、1次式です。
条件
Cより、は整数であり、は整数なので、
 (dは整数) ・・・①
は整数であり、は整数なので、
 (eは整数) ・・・②
②-①より、
よって、xの係数は整数です。②より、の定数項も整数です。
よって、題意は示されました。
が整数であるとします。条件
Cより、kを整数として、は整数で、

は整数になるはずですが、が整数であるとき、は整数で、

より、すべての3で割り切れない整数xについて、は確かに整数です。

(2)  ・・・⑤
また、条件Cが成立すれば、

は整数です。よって、
 (pは整数) ・・・⑥
 
(qは整数) ・・・⑦
と⑤より、
これを満たす整数qのみで、
⑥より、
aについても、と⑤より、
これを満たす整数
pのみで、
⑤より、
これより、
となります。このとき、xが整数であれば、
も整数であり、が整数であればも整数、また、が整数であればも整数になります。は整数なので、すべての3で割り切れない整数xについては整数となり、条件Cが満たされます。よって、
......[]

(3) 条件Cが成立すれば、1以外の整数であっても、⑥,⑦より、は整数です。従って、
条件C が整数
が言えます。
逆に、が整数であるとき、
も整数になります。また、も整数になります。
について、

は整数であり、の係数と定数項も整数です。従って、xが整数であるとき、も整数で、が整数であればも整数であり、が整数であればも整数です。よって、が整数であれば、すべての3で割り切れない整数xについては整数であり、条件Cが成立し、
が整数 条件C
が言えます。
これより、条件「が整数」は条件
1()です。・・・(**)
(2)
より、条件Cを満たすについて、であって、bは整数でなくが整数なので、(**)より、の最小値は2です。
また、このについて、はいずれも整数ではなく、
(**)より、のとき、は最小値4となり、さらにのとき、が最小になります。
以上より、条件が条件
Cと同値となるような自然数の組のうち、が最小となるものは、 ......[]

(4) (3)より、
が整数 条件C
であって、なので、

(kは整数)
とおくと、より、
(mは整数)
とおくと、
より、より、
 ・・・⑦
(i) kが奇数のとき、⑦を満たすmは、
mの個数は、
()
(ii) kが偶数のとき、⑦を満たすmは、
mの個数は、
()
上記のkmの値に対して、となるようにcを決めれば、が満たされるので、条件Cを満たすのうち、となるものの個数は、
 (等差数列の和の公式を使用)
......[]


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  1. 2010/02/12(金) 18:30:18|
  2. 09年数学
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