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九州工大情報数学'09年[4]

九州工大情報数学'09[4]

箱の中に、数字の1を記入したカード、2を記入したカード、3を記入したカードがそれぞれn枚、合計枚入っている。ただし、であり、またカードの裏側には何も書かれていないものとする。以下の問いに答えよ。
(1) 箱の中からカードを1枚取り出し、数字を見ないで伏せておく。次に箱の中から取り出したカードの数字が1である確率を求めよ。
(2) 箱の中から2枚のカードを同時に取り出したとき、カードの数字が異なる確率をnを用いて表せ。
(3) 箱の中から3枚のカードを同時に取り出したとき、カードの数字がちょうど2種類である確率をnを用いて表せ。
(4) 箱の中から4枚のカードを同時に取り出したとき、カードの数字がちょうど2種類である確率をnを用いて表せ。

解答 (2)(3)余事象に着目してもよいのですが、(4)は余事象を考えてしまうと(3)の応用が効かなくなります。
この問題では、問われている方の事象を考える方が、
(2)(3)(4)のつながりがスムーズです。

(1) 枚のカードから2枚取る取り方は、1枚目の取り方が通り、1枚取ると枚残るので、2枚目の取り方が通りで、通り。
1枚目の数字がわからないので、1枚目が1かどうかで場合分けします。
1枚目に1を取る取り方はn通り、このとき、1枚残るので、2枚目にも1を取る取り方は通りで、通り。
1枚目に1以外を取る取り方は通り、このとき、1n枚残っていて2枚目に1を取る取り方はn通りで、通り。
求める確率は、
......[]
注.この結果は、1枚目の数字を見ないでおけば、2回目に1を引く確率は、1回目に1を引く確率と同じだということを表しています。

(2) 全事象は(1)と同じく、通りあります。
1枚目は何を取ってもよいので通り。
2枚目は1枚目と異なるカードを取ります。1枚目と異なるカードは枚あります。
求める確率は、
......[]
別解.余事象に着目することもできます。余事象は、1枚目と2枚目が同じ数字になる事象です。全事象は、枚から2枚取る取り方として通り(組み合わせを参照)1枚目と2枚目が同じになる事象は、同一数字のカードn枚から2枚取る取り方が通り、数字は3種類あるので、通り、求める確率は、

(3) 枚のカードから3枚取る取り方は、1枚目が通り、2枚目が通り、3枚目が通りで、通り。
1枚目は何を取ってもよいので通り。
2枚目に1枚目と同じものを取るとき通り、このとき3枚目には、1枚目、2枚目とは異なるものを取ればよいのですが枚残っているので取り方は通りあり、通り。
2枚目に1枚目と異なるものを取るとき通り、このとき3枚目には、1枚目あるいは2枚目に取ったものと同じものを取ればよいのですが枚残っているので取り方は通りあり、通り。
求める確率は、
......[]
別解.余事象は、13枚目が同じ数字になる、か、13枚目で123の全ての数字が出る事象です。
全事象は、枚から3枚取る取り方として通り。
13枚目が同じ数になるのは、同一数字のn枚から3枚取る取り方が通り、数字が3種類で、通り。
13枚で123の全ての数字が出るのは、各数字n枚あって、123並び方通りあるので、通り。
求める確率は、

......[]

(4) 枚のカードから4枚取る取り方は、通り。
1枚目は何を取ってもよいので通り。
2枚目に1枚目と同じものを取るとき通り、このとき、
(a) 3枚目に、1枚目、2枚目と同じものを取るとき通り、4枚目は、13枚目と異なるものを取るので通りで、通り。
(b) 3枚目に、1枚目、2枚目とは異なるものを取るとき通り、4枚目は、1枚目あるいは3枚目に取ったものと同じものを取ればよいのですが枚残っているので取り方は通りあり、通り。
(a)(b)合わせて、通り。
2枚目に1枚目と異なるものを取るとき通り、このとき、3枚目は、1枚目あるいは2枚目に取ったものと同じものを取ればよく、通り、4枚目も同様に、通りで、通り。
求める確率は、
......[]


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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2010/02/11(木) 17:47:54|
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