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九大理系数学'09年後期[5]

九大理系数学'09年後期[5]

で定義された連続な関数とし、abを正の定数とする。このとき、
の関係を満たすものとする。以下の問いに答えよ。
(1) とするとき、
が成立することを示せ。
(2) が成立することを示せ。
(3) xについて連続な関数で、任意の二つの実数ab に対して、次の関係を満たすものとする。
さらに、で定義された二つの連続な関数は次の関係式を満たすものとする。
このとき、とおけば、
が成立することを示せ。
(4) であることを証明せよ。

解答 抽象的な問題というだけでなく、と、いろいろな関数の積分やら微分やらが出てくるので、目移りしてなかなか焦点が定まりにくい問題です。こういう時は、とにかく手を動かして、いろいろ試行錯誤するべきです。
(3)では、定積分に関する性質を利用するのですが、ここでは、自明とせずに、証明を試みます。

として、

 ・・・①

(1)  (積の微分法を参照)
 ・・・② (定積分と微分を参照)
より、,これを用いて、
①より、
これとより、

(2) なかなか手がかりのつかめない問題ですが、示すべき不等式:の右辺と①の右辺を比較してみます。
これが、において0以上となることが示せれば都合がいいのですが、(1)を見ると、という形が見えるので、より、
 ・・・③
とおいて、を示すことを目標にします。(1)の結果を用いて、
これより、において単調増加であり、②でとおくととなるので、③より(関数の増減を参照)
よって、①を用いて、

(3) として、
 ・・・④
問題文中の関係式:において、とすると、
()
よって、
 ・・・⑤
で定義された連続な関数について、
 ・・・⑥
となるので、とすることにより、
これと、④,⑤より、
注.⑥は既知としてもよいのですが、証明しておきます。
において、つねにであるときには、
 ・・・⑦
において、つねにであるときには、
 ・・・⑧
において、を満たすtn個あって、,・・・,とします。また、とします。となる整数kについて、のときであれば、
()
ですが、のときであれば、
従って、
より、

以上より⑦,⑧を含めて、⑥が成立します。

(4) (3)の結果を見ると、において定義された連続な関数について、①で、とし、とした不等式が成り立つので、(2)の結果で、とし、とした不等式が成り立ちます。よって、において、
 (証明終)


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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2010/02/09(火) 11:45:20|
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