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センター数学IIB '10年第4問

 センター数学IIB '10年第4問 

二つずつ平行な三組の平面で囲まれた立体を平行六面体という。辺の長さがすべて1の平行六面体ABCD-EFGHがあり、である。とおく。
とする。辺
ABaの比に内分する点をX,辺BFbの比に内分する点をYとする。点Xを通り直線AHに平行な直線と辺GHとの交点をZとする。三角形XYZを含む平面をaとする。
(1) である。ベクトルは、abを用いてと表される。
である。
(2) 直線ECと平面aが垂直に交わるとし、交点をKとする。が三角形XYZ2辺と垂直であることから、が成り立つ。
以下では、とする。このときである。を実数cを用いてと表すと、である。一方、点Kは平面a上にあるから、は実数stを用いて
と表される。これらより、である。よって、点Eと平面aとの距離となる。

解答 空間ベクトルの問題ですが、問題文の誘導が意図していることを意識しつつ、想定されている状況の中で自分を見失わないようにすることが大切です。

(1) 平行六面体の各辺の長さは1なので、 ・・・①
より、
 ・・・② (内積を参照)
より、
 ・・・③
() 0 () 1 () 2 ......[]

 ・・・④
 ・・・⑤

 
( ①,②)
() a () b () 0 ......[]

(2) より、は三角形XYZ2辺と垂直になりますが、(1)は確認されているので、です。よって、④,⑤とより、

 ( ①,②,③)
 ・・・⑥
⑥でとすると、

() 2 () 2 () 3 () 4 ......[]
 ・・・⑦
と表すと、
 ・・・⑧
④より、,よって、

 ・・・⑨
⑧,⑨のの係数を比較して(ベクトルの1次独立を参照)

これらより、

(
) 4 () 2 () 5 () 8 ......[]
 ( ①,②,③)


(
) 5 () 2 () 8 ......[]


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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2010/01/30(土) 17:41:44|
  2. センター数学'10年
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