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センター数学IIB '10年第2問

 センター数学IIB '10年第2問 

kを実数とし、座標平面上に点Pをとる。曲線
Cとする。
(1) Qにおける曲線Cの接線が点Pを通るとすると
が成り立つ。

とおくと、関数で極小値をとり、で極大値をとる。
したがって、点
Pを通る曲線Cの接線の本数がちょうど2本となるのは、kの値がまたはのときである。また、点Pを通る曲線Cの接線の本数はのとき本、のとき本、のとき本となる。
(2) とする。曲線
Dとする。曲線CDの交点のx座標はである。
の範囲において、
2曲線CDおよび2直線で囲まれた二つの図形の面積の和はである。

解答 昨年まで、センター試験の数学には問題点が多い、ということを書いてきましたが、本問に、それに対する改善の姿勢が見えます。煩瑣な文字計算を必要としない、こうした教科書の例題に即した標準的な問題の方が、数学の実力を適切に測れるのではないでしょうか。
数学の基礎学力を調べる問題にオリジナリティーは不要だと思います。


(1)  ・・・①
微分すると、
Qにおける曲線C接線の方程式は、
整理して、
これが点Pを通るので、

 ・・・②
() 2 () 1 () 2 () 1 () 8 ......[]
とおくと、
とすると、
t
1
3
00
0

増減表より、関数は、で極小値をとり、で極大値0をとります(3次関数の増減を参照)
() 1 () - () 8 () 3 () 0 ......[]
曲線と直線の共有点の数を考えることにより、t3次方程式②:は、
のとき、1
のとき、2
のとき、3
のとき、2
のとき、1
をもちます(微分法の方程式への応用を参照)。点Pを通る曲線Cの接線の本数は、3次方程式②の解の個数に一致するので、
接線の本数がちょうど
2本となるのは、またはのときです。
接線の本数は、のとき
1本、のとき3本、のとき1本です。
() 0 () - () 8 () 1 () 3 () 1 ......[]

(2) のとき、曲線C ・・・③
曲線D ・・・④
③,④を連立すると、


よって、曲線Cと曲線Dの交点のx座標は0です。
() 0 () 7 () 3 ......[]
の範囲において、2曲線CDおよび2直線で囲まれた二つの図形の面積の和Sは、範囲内の2曲線が交わり、においてにおいてであることを考慮して(定積分と面積を参照)

() 2 () 1 () 2 ......[]


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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2010/01/26(火) 21:36:39|
  2. センター数学'10年
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