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センター数学IIB '10年第1問

 センター数学IIB '10年第1問 

[1] 連立方程式
()
を満たす正の実数xyを求めよう。ただし、とする。①の両辺で2を底とする対数をとると
が成り立つ。これと②より
である。
したがって、
2次方程式
 ・・・③
の解である。③の解はである。ただし、は解答の順序を問わない。よって、連立方程式()の解は
またはである。

解答 対数方程式に関する基本問題です。なお、対数関数を参照してください。

①の両辺で
2を底とする対数をとると
これと、②より、

(
) 7 () 1 () 2 ......[]
従って、解と係数の関係より、2次方程式
 ・・・③
の解になります。
③の解は、
従って、,または、
即ち、
または
(
) 7 () 1 () 2 () 3 () 4 () 8 () 1 () 6 ......[]
注.問題文の指定より、() 4 () 3でも正解です。


[2] の範囲で
 ・・・①
を満たすq の値を求めよう。
一般に、すべての
xについて
である。に当てはまるものを、次ののうちから一つ選べ。
     
したがって、①が成り立つとき、となり、の範囲でのとり得る値の範囲を考えれば、またはとなる。よって、①を満たすq またはである。
である。の値を求めよう。①より
となり、この式の左辺を2倍角の公式を用いて変形すれば
となる。ここでであるから
 ・・・②
が成り立つ。は②を満たしている。とすると、であるから
となる。ここで、より
である。

解答 三角関数の問題ですが、問題文が錯綜しているので、読み間違いに注意しましょう。

 (加法定理を参照)
より、一般に、すべてのxについて、
が成り立ちます。
()
①が成り立つとき、
 ・・・③
の範囲でのとり得る値の範囲は、

ここで、ですが、
のいずれにおいても、となるので、

のとき、③より、
のとき、③より、 (です。三角関数を参照)
() 6 () 1 () 0 ......[]
() 1 () 2 ......[]
(
2倍角の公式を参照)と①より、
() 2 ......[]
さらに、2倍角の公式を用いて変形すれば、
() 4 () 8 ......[]
ここで、より、で両辺を割ることにより、
 ・・・②
が②を満たすので、②左辺はで割り切れます。割り算を実行することにより、
より、のときは、
を満たします。より、
() 4 () 2 () - () 1 () 5 () 4 ......[]


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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2010/01/25(月) 16:32:36|
  2. センター数学'10年
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