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センター数学IA '10年第3問

 センター数学IA '10年第3問 

である直角三角形とする。
(1) の内接円の中心をOとし、円O3BCCAABと接する点をそれぞれPQRとする。このとき、である。また、
であり、である。
(2) Oと線分APとの交点のうちPと異なる方をSとする。このとき、
であり、である。また、点Sから辺BCへ垂線を下ろし、垂線とBCとの交点をHとする。このとき
である。したがって、である。
(3) O上に点Tを線分RTが円Oの直径となるようにとる。このとき、
である。よって、であり、
である。

解答 方べきの定理を使うところがポイントです。方べきの定理が思いつけなければ、三角形ASRと三角形ARPの相似を考えます。

(1) 右図で、とすると、
 ・・・①
 ・・・②
 ・・・③
①+②+③より、 ・・・④
④-②より、
④-③より、
④-①より、
四角形
BPORは正方形なので、
() 1 ......[]
従って、三角形ABCの内接円Oの半径は1です。
三角形
AQR余弦定理を適用して、

(
) 4 () 5 () 5 ......[]
三角形PQRの外接円の半径は1なので、三角形PQR正弦定理を適用して、

() 2 () 5 () 5 ......[]

(2) 直角三角形ABPにおいて、と三平方の定理より、

(
) 1 () 0 ......[]
直線APは円O2PSで交わり、直線ABは円ORで接するので、方べきの定理より、


(
) 3 () 1 () 0 () 5 ......[]
SH // AB
より、
APSP = BPHP = ABSH == 53

() 3 () 5 () 9 () 5 () 1 () 2 ......[]

(3) Tから辺BCに垂線TKを下ろすと、
() 1 () 2 ......[]
より、3CTSは一直線上にあります。RTは円Oの直径では直径の上に立つ円周角で、
また、は円
Oの弦PTの上に立つ円周角で、中心角

(
) 9 () 0 () 4 () 5 ......[]


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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2010/01/20(水) 16:18:53|
  2. センター数学'10年
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