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センター数学IA '10年第1問

 センター数学IA '10年第1問 

[1] とする。aの分母を有理化すると
となる。
2次方程式の解は
である。
次のの数のうち最も小さいものはである。

  
      

解答 最後の大小比較は、見当をつけてから差をとってみます。

 (分母の有理化を参照)
() 5 () 2 () 1 () 2 ......[]

() 1 () 6 () 1 ......[]
aについて、より、
従って、の中で最小になる可能性があるのは、です。引いて比較すると、
よって、の中で最小のものは、
() ......[]



[2] 次のに当てはまるものを、下ののうちから一つずつ選べ。ただし、同じものを繰り返し選んでもよい。また、に当てはまるものを、下ののうちから一つ選べ。

自然数nに関する条件pqrsを次のように定める。
pn5で割ると1余る数である。
qn10で割ると1余る数である。
rnは奇数である。
sn2より大きい素数である。
また、条件rの否定を,条件sの否定をで表す。このとき
pかつr」はqであるための
であるための
pかつs」は「qかつs」であるための
必要十分条件である
必要条件であるが、十分条件でない
十分条件であるが、必要条件でない
必要条件でも十分条件でもない

自然数全体の集合を全体集合
Uとし、条件pを満たす自然数全体の集合をP,条件rを満たす自然数全体の集合をR,条件sを満たす自然数全体の集合をSとすると、PRSの関係を表す図はである。

解答 本問では、条件pqrsを満たす自然数を具体的に挙げていけば、答がわかってしまいます(整数条件・命題を参照)
条件
pを満たすのは、161116212631364146,・・・
条件
qを満たすのは、111213141516171,・・・
条件
rを満たすのは、13579111315171921,・・・
条件
sを満たすのは、35711131719232931,・・・
条件「
pかつr」を満たすのは、111213141516171,・・・
となるので、「
pかつr」はqであるための必要十分条件です。
証明 条件pを満たす自然数、つまり、5で割ると1余る自然数は、k0以上の整数として、と書けます。
kが奇数のとき偶数、kが偶数のとき奇数になるので、「pかつr」を満たすのは、条件pを満たす自然数のうちで、kが偶数であるものであって、kは、m0以上の整数として、と書けます。
このとき、となり、「
pかつr」を満たす自然数の集合と、10で割ると1余る自然数の集合は一致します。つまり、
pかつr q (証明終)
() ......[]

条件sを満たす自然数、つまり、2より大きい素数は、すべて奇数なので、条件rを満たします。ですが、条件rを満たす自然数、つまり、奇数のうち、は素数ではありません。従って、
s r
この命題の対偶も成立し、
であるための十分条件であって必要条件ではありません。
() ......[]

条件「pかつs」を満たすのは、113141,・・・
条件「
qかつs」を満たすのは、113141,・・・
そこで、両条件を満たす
集合を考えてみます。問題文後半にあるように集合PRSをとり、さらに、条件qを満たす自然数の集合をQとします。
()()の結果より、
よって、

pかつs qかつs
() ......[]

上記よりですが、こうなっているのは、です。
また、なので、
これより、
PRSの関係を表す図は、
() ......[]


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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2010/01/18(月) 11:43:58|
  2. センター数学'10年
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