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東工大数学2019年前期[1]

東工大数学'19年前期[1] 東工大数学'19年前期[1]

(1) とする。座標平面上の点O,点P,点Qに対して、三角形OPQの面積をSとする。ただし、とする。三角形OPQの辺OPOQPQの長さをそれぞれpqrとするとき、不等式
      
 が成り立つことを示せ。また、等号が成立するときのstの値を求めよ。
(2) 四面体ABCDの表面積をT,辺BC,辺CA,辺ABの長さをそれぞれabcとし、辺ADBDCDの長さをそれぞれlmnとする。このとき、不等式
      
 が成り立つことを示せ。また、等号が成立するのは四面体ABCDがどのような四面体のときか。

解答 何らかの技巧を使うようにも見えますが、平凡に、左辺-右辺を整理していくと解決します。(1)では、h は与えられた値で、stが未知数、ということに注意します。
(1)

 
とおくと、なので、

等号成立は、のとき、つまり、 
......[] のとき。
このとき、となり、三角形
OPQは正三角形です。

(2) (1)の三角形OPQは、三角形がどんな三角形であっても、Oを原点、OからPQに垂線を下ろしてx軸とし、x軸と垂直でOを通るようにy軸をとれば、(1)を利用することができます。(1)より、
三角形ABCの面積をとして、 ・・・①
三角形
ACDの面積をとして、 ・・・②
三角形
ABDの面積をとして、 ・・・③
三角形
BCDの面積をとして、 ・・・④
より、①+②+③+④より、
 

等号成立は、①,②,③,④のすべてで等号が成立するときで、このとき、四面体の4つの面がすべて正三角形となり、等号成立は、四面体ABCDが正四面体 ......[] のとき。



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  1. 2020/01/12(日) 14:28:01|
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