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東大文系数学'13年[2]

東大文系数学'13[2]

座標平面上の3
PQA ()
を考える。
(1) 2つの線分の長さの差aによらない定数であることを示し、その値を求めよ。
(2) Qを端点としAを通る半直線と放物線との交点をBとする。点Bから直線へ下ろした垂線と直線との交点をCとする。このとき、線分の長さの和
aによらない定数であることを示し、その値を求めよ。

解答 まともに体当たりすべきか試験場で迷うところですが、悩むくらいなら強行突破した方がよい、という問題です。実質的には二重根号を外すだけの計算問題です。
理系の方は、
放物線双曲線を参照してください。

(1) 素直に計算します。


......[]

(2) (1)も含めて数学Cの知識を使えば計算するまでもないのですが、ここでは素直に計算してみます。
(1)より、なので、
Bx座標をbとするとy座標はです。
()
......[]


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  1. 2013/11/06(水) 09:43:00|
  2. 東大数学13年
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東大文系数学'13年[1]

東大文系数学'13[1]

関数のグラフをC,原点Oを通る傾きtの直線をとし、CO以外に共有点をもつとする。Cの共有点をOPQとし、の積をとおく。ただし、それら共有点の1つが接点である場合は、OPQのうちの2つが一致して、その接点であるとする。関数の増減を調べ、その極値を求めよ。

解答 極値の計算など、技巧を要する面はありますが、ほとんど考えるところのない、単に面倒な計算問題です。

C ・・・①
 ・・・②
①,②を連立すると、

 ・・・③
または
以外に実数解をもつので、
 ・・・④
の判別式:
 ・・・⑤
のときには重解となり、となります。
⑤の
2解をpqとして、解と係数の関係より、
PQの座標をとして、

のとき、④はを解にもち、③は重解をもちます。つまり、このとき、Cで接しています。PQとなるので、となるわけです。
のとき、


とすると、 (複号が±どちらであってもです)
の範囲に極値をもたず、この範囲でより、は単調増加です。
のとき、


とすると、
で割ると、商が,余りはになるので、

ここで、 (とします)とすると、より、
(複号同順)
より、合わせて増減表は以下のようになります。
t


3
×00×
80
増減表より(3次関数の増減を参照)、極値は、のとき極小値のとき極大値のとき極小値0 ......[]


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  1. 2013/11/04(月) 22:31:42|
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