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阪大物理'13年[2]

阪大物理'13[2]

1のように、屈折率の平面ガラス上に、一方が平面で他方が半径Rの球面になっている屈折率の平凸レンズをのせ、レンズの真上から波長λの単色光を入射させる。ここでである。これを真上から見ると、平凸レンズの下面で反射した光と平面ガラスの上面で反射した光が干渉して、接点Oを中心とする明暗の輪(リング)が同心円状に形成される。これをニュートンリングと呼ぶ、この現象について以下の問いに答えよ。また、選択肢については正しいものを選択し、その番号を解答欄に記せ。

Ⅰ.平面ガラスと平凸レンズの間が空気の場合を考える。ただし、空気の屈折率は1.0である。ここで、光が、屈折率のより大きな媒質で反射するときは、位相が逆になることに注意せよ。
1 接点Oから平面ガラスに沿って距離rだけ離れた点における、平面と球面の距離hを、rRを用いて現せ。ただし、hRに比べて十分に小さいとし、絶対値が1より十分小さいxに対しては、の近似式を用いよ。
2 接点O付近は、円上に見える。その理由を解答欄に記せ。
3 接点Oからm番目 ()の明輪の半径を、mRλのうちの必要なものを用いて表せ。
4 このニュートンリングを真下から観測した場合、明輪の輪は真上から観測したときと比べてどう見えるか。次のうちの正しいものを選択せよ。
全く同じに見える。
輪の明暗が反転して見える。
ニュートンリングは見えない。

Ⅱ.平面ガラスと平凸レンズの間を、屈折率nの液体で満たす場合を考える。
5 液体の屈折率nがある条件を満たすときに、ニュートンリングは観測できなくなる。その条件を表せ。
6 ニュートンリングが観測される場合、リングの中心Oからm番目の明輪の半径を、mRλnのうちの必要なものを用いて表せ。必要があれば、液体の屈折率nの値によって場合分けをすること。

Ⅲ.液体が残ったまま、図2のように平面ガラスから平凸レンズをゆっくりと持ち上げていく場合を考える。ここで、屈折率はであるとし、平凸レンズの平面ガラスからの高さをdとする。平凸レンズを持ち上げても平面ガラスとの間は常に液体で満たされており、空気は入らない。また、でニュートンリングは観測されていた。
7 平凸レンズをゆっくりと持ち上げ始めると、明暗の輪の半径はなってゆく。
高さdがある条件を満たすときに、ニュートンリングは、平凸レンズを持ち上げる前と同じ形状になる。最初に同じ形状になる高さを2回目に同じ形状になる高さをとする。
8 Rλnのうちの必要なものを用いて表せ。
9 高さdのとき、リングの中心Oからm番目の明輪の半径mRλndのうちの必要なものを用いて表せ。必要があれば、高さdの値によって場合分けをすること。

解答 ニュートン・リングの問題です。自由端の反射か、固定端の反射かをていねいに考えましょう。問9は慎重に考察する必要があります。

Ⅰ.問1 三平方の定理より、
に比べて十分に小さなを無視すると、
......[]
2 接点O付近では、② 暗く ......[] 見えます。
理由は、接点O周辺では、平凸レンズ下面で反射した光と、平面ガラス上面で反射した光が干渉して弱め合うからです。
平凸レンズ下面で反射する光は、屈折率の大きなレンズから屈折率の小さな空気中に進もうとして反射するので自由端の反射をして
位相がずれません。平面ガラス上面で反射する光は、屈折率の小さな空気中から屈折率の大きなガラスに入ろうとして反射するので固定端の反射をして位相πずれます。両反射光は位相πずれているので、経路差波長の整数倍のときに弱めあうことになります。接点O周辺では、経路差はほぼゼロなので弱めあうことになります。
3 平凸レンズ下面で反射する光と平面ガラス上面で反射する光との経路差です。問2と同様に、両光の間には位相差πが存在するので、強め合う条件は、明輪の半径として、
 (m:自然数)
......[]
4 ニュートンリングを下側から観察すると、直接透過する光と、まず平面ガラス上面で反射(固定端の反射で位相πずれる)し、平凸レンズ下面で反射(固定端の反射で位相πずれる)する光とで干渉してニュートンリングを作ります。両光の位相はそろうので、強め合う条件は、 (m:自然数)

となり、真上から観測したときと比べると、輪の明暗が反転します。 ② ......[]

Ⅱ.問5 平凸レンズの屈折率と液体の屈折率が一致する()と、この境界で反射しなくなるので、ニュートンリングは観測できなくなります。また、平面ガラスの屈折率と液体の屈折率が一致する()ときにも、ニュートンリングは観測できなくなります。
......[]
6 のときはⅠと同様に、平凸レンズと液体の境界では自由端の反射、液体と平面ガラスの間では固定端の反射をします。2光の位相差π2光の光路差,強め合う条件は、明輪の半径 (m:自然数)として、
......[]
のとき、平凸レンズと液体の境界では自由端の反射、液体と平面ガラスの間でも自由端の反射をします。2光に位相差はなく、強め合う条件は、
......[]
のとき、平凸レンズと液体の境界では固定端の反射、液体と平面ガラスの間では自由端の反射をします。2項には位相差πがあり、強め合う条件は、
......[]

Ⅲ.問7 このときの光路差,液体と平凸レンズとの境界、平面ガラスとの境界のいずれか一方で自由端の反射、他方で固定端の反射をするので、2光の位相差π,強め合う条件は、明輪の半径として、
() ・・・①
よって、明輪の
半径は小さくなります。② ......[]
8 dを大きくすると、明輪半径が小さくなるので、のときm番目の明輪であったものが、のときには、番目の明輪になります。よって、

......[]
9 問8より、のときには、接点O周辺は弱め合う条件が成立して暗くなります。
のときには、接点O周辺は強め合う条件が成立して明るくなります。
のときには、接点
O周辺で弱め合う条件が成立しない、という点において、Oを中心とする円内がやや明るくなるのですが、リングにはなりません。
のときには、接点
O周辺で強め合う条件が成立しない、という点において、Oを中心とする円内がやや暗くなります。
以上に注意すると、問
7より、明輪の半径r,またmを整数として、強め合う条件は、

 ・・・②
つまり、のとき、より、②を成立させる最小の整数
mです。従って、m番目の明輪の半径は、①でとして、
(m:自然数) ......[]
つまり、のとき、より、②を成立させる最小の整数mです。従って、m番目の明輪の半径は、①でとして、
(m:自然数) ......[]


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  1. 2013/09/30(月) 02:33:49|
  2. 13年物理
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阪大理系数学'13年前期[5]

阪大理系数学'13年前期[5]

n3以上の整数とする。n個の球,・・・・・・,n個の空(から)の箱,・・・・・・,がある。以下のように、,・・・・・・,の順番に、球を箱に1つずつ入れていく。
まず、球を箱,・・・・・・,のどれか
1つに無作為に入れる。次に、球を、箱が空ならば箱に入れ、箱が空でなければ残りの個の空の箱のどれか1つに無作為に入れる。
一般に、について、球を、箱が空ならば箱に入れ、箱が空でなければ残りの個の空の箱のどれか
1つに無作為に入れる。
(1) が入る箱はまたはである。これを証明せよ。
(2) に入る確率を求めよ。

解答 (2)が難問ですが、が箱,箱に入る場合と、箱に入る場合と、それ以外の場合とに分け、それ以外の場合には球と箱が個以下になる場合を考えればよいことに気づければ解答できます。なお、独立試行の確率を参照してください。

(1) は箱,・・・・・・,のどれにも入る可能性があります。 ()を入れ終わったとき、を入れる時点で、が空いていればに入り、空いていなければ、には既にのどれかがに入っています。つまり、を入れ終わった時点でには必ず球が入っています。
従って、を入れる時点で、には必ず球が入っています。ということは、が入る箱はまたはです。
(2) 以下で、箱をで表し、左から順に,・・・の順に並んでいるとします。また、箱にが入ったとき、と表すことにします。
まず、の場合で、に入る確率を考えてみます。
の入れ方について以下の場合が考えられます。
(i) に入れると、が空いているので、に入ります。
 確率
(ii) に入れると、が空いていないので、またはに入ります。
 に入ることはありません。
(iii) に入れると、が空いているので、に入ります。
 (i)と同様に、確率
に入る確率はです。
の場合、に入る確率を考えます。
(i) に入れると、が空いているので、に入ります。
 確率
(ii) に入れると、が空いていないので、のどれかに入ります。この状況は、と読み替えると、のときの状況と同じで、に入る確率はでした。
に入れる確率はなので、このときに入る確率は、
(iii) に入れると、に入ることはありません。
(iv) に入れると、(i)と同様に、に入る確率はです。
に入る確率は、です。
の場合、に入る確率を考えます。
(i) に入れると、が空いているので、に入ります。この確率は
(ii) に入れると、が空いていないので、のどれかに入ります。この状況は、のときと同じで、このときに入る確率は、
(iii) に入れると、に入るのですが、が空いていないので、のどれかに入ります。この状況はのときの状況と同じで、このときに入る確率は、です。
(iv) に入れると、に入ることはありません。
(v) に入れると、(i)と同様に、に入る確率はです。
に入る確率は、です。
以上より、一般の整数
n ()の場合、球を箱に入れる確率はになると予測できます。予測が成り立つことを数学的帰納法で示します。
() のときは上記より成立します。
() のとき、となる整数mについて、球と箱がm個あるときに、球を箱に入れる確率がであると仮定します。
(i) またはに入れると、 ()に入るので、に入れる確率は各々
(ii) ()に入れると、に入れられなくなりますが、このときの状況は、球と箱の個数が ()だったときの状況と同じです。
に入れる確率が,その後の状況の確率は帰納法の仮定よりで、に入れる確率は各々,この場合は、通りあります。
(iii) に入れるときは、に入ることはありません。
よって、球を箱に入れる確率は、
以上より、一般の整数n ()の場合について予測は正しく、求める確率は、 ......[]


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  1. 2013/09/15(日) 19:22:39|
  2. '13年数学
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阪大物理'13年[2]

阪大物理'13[2]

直流電源にコイルとコンデンサーとスイッチが接続された図1のような電気回路を考える。コイルの自己インダクタンスをL,単位長さ当たりの巻き数をnとし、コイルに流れる電流はaの矢印の向きを正とする。直流電源の電圧はV,コンデンサーの静電容量はCであり、電源には抵抗値rの内部抵抗がある。
Ⅰ,Ⅱの最初の状態ではともに、スイッチは全て開いており、電気回路には電流は流れておらず、コンデンサーに電荷はなかった。以下の空欄に入れるべき適切な式を、解答欄に記入せよ。ただし、
(7)(13)では、{  }から正しいものを1つ選択し、(16)(17)では正しいものを全て選択し、解答欄に記入せよ。

Ⅰ.最初の状態からスイッチを閉じると、コイルに電流が流れる。十分短い時間の間に電流がだけ変化した。この時、コイルに生ずる誘導起電力の大きさは、Lを用いるとと表せる。
その後、十分時間が経過すると、電流の大きさは一定になった。この時、コイルに流れる電流の大きさはであり、コイルで生じる磁場の強さは、nVrを用いるとである。

Ⅱ.最初の状態からスイッチを閉じると、コンデンサーに電荷が蓄えられはじめる。十分時間が経過した後に、コンデンサーに蓄えられる電荷量はであり、静電エネルギーはである。
次に、を開いてを閉じると、コンデンサーが放電をし始め、コイルに電流が図1aの矢印の向きに流れ始める。を閉じた直後の短い時間における電流の変化率である。コンデンサーの電荷がゼロになる時、コイルにはの矢印の向きに電流が流れており、コンデンサーは、を閉じる前と正負が逆に充電され始める。しばらくすると再び放電が始まる。このように充電と放電が繰り返される結果、コンデンサーとコイルの間には振動電流が流れつづける。この振動電流の角周波数をωとする。このωを用いると、コンデンサーのリアクタンスはであり、コイルのリアクタンスはである。コンデンサーおよびコイルにかかる電圧の最大値はVなので、振動電流の最大値は、VCωを用いるとであり、VLωを用いるとと表せる。コイルとコンデンサーに流れる振動電流の最大値は等しいので、ωと求められる。を閉じた時点からのコイルに流れる電流Iの時間変化は、図2である。コンデンサーとコイルに蓄えられるエネルギーの和は一定なので、コイルで発生する磁場の強さの最大値は、nVCLを用いるとである。
次に強い磁場を発生させることを考えよう。コイルの長さと断面積をそれぞれ
Aとする。コイルの半径に比べては十分に大きいので、コイル内部には一様な磁場ができている。真空の透磁率をとし、nAを用いると、コイルの自己インダクタンスLは、である。一方、コンデンサーは平行平板コンデンサーであり、その極板の間隔と面積はそれぞれdWである。また、真空の誘電率をとする。磁場の強さを大きくするには、の値を小さくし、の値を大きくすればよい。

解答 コイルとコンデンサーの回路の基本問題です。

(1) コイルに生じる誘導起電力の大きさは、 ......[]
(2) 充分時間が経過して電流が一定になるとコイルに生じる誘導起電力はゼロで、オームの法則より、コイルに流れる電流の大きさは、 ......[]
(3) コイルで生じる磁場の強さは、 ......[]

(4) コンデンサーに蓄えられる電気量は、 ......[]
(5) コンデンサーに蓄えられる静電エネルギーは、 ......[] (コンデンサーの過渡現象を参照)
(6) を閉じた直後、コンデンサーの上側極板から正電荷が流れ始め、となります。このとき、,コイル両端の電圧はコンデンサーの電圧に等しくVなので、
 ∴ ......[]
(7) コンデンサーの電荷がゼロになってもコイルは電流をそのまま流し続けようとするので、このときのコイルの電流の向きは(a) ......[]
(8) 振動電流角周波数ω のとき、コンデンサーのリアクタンスは、
......[] (振動回路を参照)
(9) コイルのリアクタンスは、 ......[]
(10) コンデンサーの電流の最大値をとして、
......[]
(11) コイルの電流の最大値は、
......[]
(12) (10)(11)電流を等しいとおくと、
......[]
(13) を閉じた時点()で、コイルは電流を流そうとしないのでです。時間経過に従って正方向に電流が流れ始め、コンデンサーの電荷がゼロになった時点でとなり、それ以降コンデンサーの上側極板に負電荷、下側極板に正電荷が蓄えられるのに従って電流が減少します。こういう変化をしているグラフは、(d) ......[]
(14) より、コイルに発生する磁場の強さの最大値は、
......[]
(15) コイルに電流Iが流れているとき、コイル内部に発生する磁場の強さは、
コイル内部の磁束密度は、
コイルを貫く
磁束は、
コイルの総巻き数はで、
電磁誘導の法則より、コイルに発生する誘導起電力は、
より、コイルの自己インダクタンスは、 ......[] (自己誘導を参照)
(16) (15)より、磁場の強さの最大値は、
これより、を大きくするためにはdA ......[] を小さくし、
(17) W ......[] を大きくすればよいことになります。


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  1. 2013/09/12(木) 11:33:47|
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阪大理系数学'13年前期[4]

阪大理系数学'13年前期[4]

xyz空間内の3OABを頂点とする三角形OABx軸のまわりに1回転させてできる円すいをVとする。円すいVy軸のまわりに1回転させてできる立体の体積を求めよ。

解答 問題文を一見してぎょっとしますが、断面を考えていけば素直に解決します。

直円錐をその軸に平行な平面で切ると、切り口に双曲線ができます。
三角形
OABx軸のまわりに1回転させてできる円錐Vを、x軸に平行な平面 ()で切ると、切り口にやはり双曲線ができます。
この双曲線の頂点は、直線
OBと、平面との交点Cになります。
円錐
Vの底円は、点Aを中心とする半径1の円で、この円はx軸と垂直です。
この円の円周と平面との交点は、です。プラスの方を
P,マイナスの方をQとし、円錐Vy軸のまわりに1回転させてできる立体を平面で切ると、3CPQを通る放物線と線分PQとで囲まれる図形Wy軸のまわりに回転させた図形が切り口にできます。
図形
W内の点でy軸との距離が最小となる点はCで、最大となる点はPQです。
図形
Wy軸のまわりに1回転させると、Dを中心とし、DPを半径とする円からDCを半径とする円を除いた図形Uになります。
この図形
Uが、円錐Vy軸のまわりに1回転させてできる立体を平面で切ったときにできる図形です。

より、図形Uの面積は、
求める体積は、立体がxy平面に関して対称であることを考慮して、
......[]


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  1. 2013/09/03(火) 11:39:56|
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