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阪大理系数学'13年前期[3]

阪大理系数学'13年前期[3]

4個の実数
がすべて素数となるような正の整数nは存在しない。これを証明せよ。

解答 ぱっと見には方針が立ちませんが,素数を22以外に分けると、偶数か奇数か、ということになり、それなら、3の倍数かどうかと調べてゆくと、嫌でも解決してしまいます。なお、整数を参照してください。

だとすると、です。このとき、ですが、これは素数ではありません。
3以上の素数だとすると、は奇数でnは偶数です。
このとき、はいずれも奇数で、素数の可能性があり、偶奇を考えるだけでは題意を示すことができません。
そこで、
n3の倍数かどうかを考えてみます。
(i) nは偶数なのでkを偶数として、のとき、3の倍数で素数ではありません。
(ii) kを奇数として、のとき、
3の倍数ではなく、素数の可能性があります。
3の倍数なので素数ではありません。
(iii) kを偶数として、のとき、
3の倍数ではなく、素数の可能性がありますが、
3の倍数なので素数ではありません。
以上ですべての自然数nの場合を尽くしているので、がすべて素数となるような正の整数nは存在しません。(証明終)


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  1. 2013/08/14(水) 22:37:53|
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阪大理系数学'13年前期[2]

阪大理系数学'13年前期[2]

不等式
の表す領域をxy平面に図示せよ。

解答 素直に場合分けしてしまうと16通りに分けることになりますが、これでは、試験会場で時間的に厳しくなります。

とします。
のとき与不等式が成立するとします。つまり、

 ・・・①
が成立するとします。
与不等式で、としても①と同じになり、与不等式は成立します
(実数の絶対値を参照)
同様に、のとき与不等式が成立しないとすると、のときにも与不等式は成立しません。
従って、第
1象限で領域Dを求めておけば、領域Dy軸に関して対称な領域,領域Dと原点に関して対称な領域、領域Dx軸に関して対称な領域も与不等式が表す領域となります。
のとき、より、与不等式は、

となります。
(i) のとき、与不等式は、
(ii) のとき、与不等式は、
(iii) のとき、与不等式は、
(iv) のとき、与不等式は、
(i)(iv)を図示すると領域Dは、右上図黄緑色着色部(境界線を含む)
これと
y軸に関して対称な領域、原点に関して対称な領域、x軸に関して対称な領域を合わせて、求める領域は右下図黄緑色着色部(境界線を含む)


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  1. 2013/08/14(水) 22:36:16|
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阪大理系数学'13年前期[1]

阪大理系数学'13年前期[1]

三角関数の極限に関する公式
を示すことにより、の導関数がであることを証明せよ。

解答 教科書をまる暗記せよということではないと思いますが、その場で考えるとしても、右図の状況と、の場合に注意することは覚えておきたいものです。

直角三角形
OABにおいて、 (x弧度法で測るものとします。です)とし、Oを中心とする円とOCとの交点をBとします。
面積,扇形OABの面積はの面積は
は扇形
OABを含み、扇形OABを含むので、
 ()
なので、で各辺を割ると、
各辺の逆数について、
ここで、とすると、
はさみうちの原理より、
の場合については、として、
()とおくと、のとき、
より、のとき、で、

以上より、
として、




注.のとき、
 (微分の公式を参照)


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  1. 2013/08/14(水) 22:35:09|
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阪大物理'13年[1]

阪大物理'13[1]

ばねと板からなり質量の無視できる緩衝器が壁に取り付けられている。物体が水平な床の上を緩衝器に向かってすべっていき、緩衝器に接した後の物体の運動を考える。物体が緩衝器に接したとき緩衝器のばねの長さは自然長であった。また、物体が壁に最も近づいたとき、ばねにはさらに縮む余裕が残されていた。物体と床の間には、以下のⅠ,Ⅱでは摩擦がなく、Ⅲでは摩擦がある。ばね定数をk,重力加速度の大きさをgとして、以下の問いに答えよ。

Ⅰ.図1のように、なめらかな床の上を質量Mの物体Aが速さで緩衝器に向かってすべっていた。物体Aが緩衝器に接した後、ばねは縮んでいく。物体Aが緩衝器に接したときから壁に最も近づくまでの時間を,壁に最も近づいたときにばねが自然長から縮んだ長さをとする。
1 Mkのうちの必要なものを用いて表せ。
2 Mkのうちの必要なものを用いて表せ。
3 を短くするにはどうすればよいか。以下のうちの正しいものの記号を全て記せ。
(a) 速さを大きくする。
(b) ばね定数kを大きくする。
(c) 質量Mを小さくする。

Ⅱ.図2のように、質量Mの物体Aの上に質量mの物体Bを載せた。物体Aと物体Bの間には摩擦があり、その静止摩擦係数をμとする。2つの物体は一体となり、なめらかな床の上を速さで緩衝器に向かって滑っていた。物体Aが緩衝器に接した後も、2つの物体は一体となって運動し、物体Bは物体Aに対して滑ることはなかった。物体Aが最初に緩衝器に接する位置をx軸の原点とし、物体の初速度の方向をx軸の正の向きとする。一体となって運動している物体の加速度をa,物体Bに働く摩擦力の大きさをFとする。
4 ばねがxだけ縮んでいるときの物体Aと物体Bの運動方程式を書け。
5 ばねがxだけ縮んでいるときの物体Bに働く摩擦力の大きさFを、Mmkgμxのうちの必要なものを用いて表せ。
6 物体Bが物体Aに対して滑らないことから、静止摩擦係数μが満たす条件を、Mmkgのうちの必要なものを用いて表せ。

Ⅲ.図3のように、摩擦のある床の上を質量Mの物体Aが緩衝器に向かって滑っていた、緩衝器に接したとき、物体Aの速さはであった。物体Aは緩衝器に接した後、壁に近づいていき、その後向きを変え、ばねの長さがちょうど自然長となる位置で静止した。床と物体Aには、動摩擦係数と静止摩擦係数が等しい材質を選んだ。ここで動摩擦係数をとする。
7 物体Aの速さMkgのうちの必要なものを用いて表せ。
8 物体Aが壁に最も近づいた後、ばねによって押し戻される。押し戻されるときの物体Aの速さの最大値をを用いて表せ。

解答 ばね振り子の基本問題ですが、Ⅲは計算に工夫が必要です。

Ⅰ.問1 衝突前の力学的エネルギーは、物体A運動エネルギーです。緩衝器のばねが最も縮んだときの力学的エネルギーは、弾性エネルギーです。両者の力学的エネルギー保存より、
 ∴  ・・・①
単振動の公式より、単振動の振幅なので①より、
周期に等しく、 ......[]
2 ①より、 ......[]
3 問1の結果より、を短くするには、kを大きくするか、質量Mを小さくすればよいので、(b)(c) ......[]

Ⅱ.問4 物体Aと物体B加速度aとします。物体Aに働くは、右向きの静止摩擦力Fとばねの弾性力(左向き)で、物体A運動方程式は、
......[] ・・・②
物体Bに働くは、左向きの静止摩擦力で、物体B運動方程式は、
......[] ・・・③
5 ②+③より、 ∴
③に代入して、 ......[]
6 物体Bが物体Aに対して滑らない条件は、 ∴
左辺は、問2と同様にして、のときに最大で、
2の結果より、 ......[]

Ⅲ.問7 衝突前の力学的エネルギー,ばねが最も縮むとき(このときのばねの縮みとします)までの間に動摩擦力がした仕事は、,ばねが最も縮んだときの力学的エネルギーはばねの弾性エネルギー,この間についてエネルギーの原理より、
 ・・・④
その後向きを変えて自然長に戻るまでに動摩擦力がした仕事自然長に戻ったとき、運動エネルギー弾性エネルギー0で、この間についてエネルギーの原理より、
 ・・・⑤
より、 ・・・⑥
④-⑤より、
⑥より、
......[]
8 押し戻される途中で、ばねの縮みxのときの物体A速さvとして、弾性エネルギー運動エネルギー,最も縮んでいたときからこのときまでに動摩擦力のした仕事エネルギーの原理より、
 ・・・⑦
⑦-⑤より、
物体A速さが最大値となるとき、運動エネルギーも最大となりますが、運動エネルギーの最大値は、
7の結果を用いて、 ......[]


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