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センター数学IA '13年第4問

 センター数学IA '13年第4問 

(1) 1から4までの数字を、重複を許して並べてできる4桁の自然数は、全部で個ある。
(2) (1)個の自然数のうちで、1から4までの数字を重複なく使ってできるものは個ある。
(3) (1)個の自然数のうちで、1331のように、異なる二つの数字を2回ずつ使ってできるものの個数を、次の考え方に従って求めよう。
(i) 1から4までの数字から異なる二つを選ぶ。この選び方は通りある。
(ii) (i)で選んだ数字のうち小さい方を、一・十・百・千の位のうち、どの2箇所に置くか決める。置く2箇所の決め方は通りある。小さい方の数字を置く場所を決めると、大きい方の数字を置く場所は残りの2箇所に決まる。
(iii) (i)(ii)により、求める個数は個である。
(4) (1)個の自然数を、それぞれ別々のカードに書く。できた枚のカードから1枚引き、それに書かれた数の四つの数字に応じて、得点を次のように定める。
・四つとも同じ数字のとき       9
2回現れる数字が二つあるとき     3
3回現れる数字が一つと、
1回だけ現れる数字が一つあるとき   2
2回現れる数字が一つと、
1回だけ現れる数字が二つあるとき   1
・数字の重複がないとき        0
(i) 得点が9点となる確率は,得点が3点となる確率はである。
(ii) 得点が2点となる確率は,得点が1点となる確率はである。
(iii) 得点の期待値は点である。

解答 センター試験としてはやや高レベルな確率の問題です。

(1) 4桁の各桁ごとに1から4までの数字が入るので、4桁の自然数は、個あります。
() 2 () 5 () 6 ......[]
(2) 4桁の各桁で重複なく1から4の数字を使う、ということは、1から4の数字を並べて4桁の自然数を作るということです。個あります。
() 2 () 4 ......[]
(3)(i) 1から4までの数字から異なる二つを選ぶのは、通りあります。
() 6 ......[]
(ii) (i)で選んだ数字のうち小さい方を、一・十・百・千の位のうち、どの2箇所に置くか決める決め方は、4箇所から2箇所を選ぶので、通りあります。
() 6 ......[]
(iii) 異なる二つの数字を2回ずつ使ってできる自然数は、個あります。
() 3 () 6 ......[]
(4)(i) 4桁で全部同じ数字になるのは、11112222333344444個あります。
得点が9点になる確率は、
() 1 () 6 () 4 ......[]
得点が3点になる確率は、異なる二つの数字を2回ずつ使ってできるものが36個あるので、
() 9 () 6 () 4 ......[]
(ii) 3回現れる数字が一つと、1回だけ現れる数字が一つあるものは、異なる二つの数字の選び方が6通り、大きい方の数字が3回出てくるか1回出てくるかが2通り、1回だけ現れる数字が4桁のどこに入るかが4通り、全部で、個あります。得点が2点になる確率は、
() 3 () 1 () 6 ......[]
2
回現れる数字が一つと1回だけ現れる数字が二つあるものは、異なる三つの数字の選び方が通り、三つの数字のどれを2回現れるようにするかが3通り、1回だけ現れる数字を入れる2箇所の選び方が通り、2箇所のどちらにするかが2通り、全部で、個あります。得点が1点になる確率は、
() 9 () 1 () 6 ......[]
(iii) 得点の期待値は、
() 3 () 2 ......[]


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  1. 2013/07/28(日) 00:18:25|
  2. センター数学'13年
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センター数学IA '13年第3問

 センター数学IA '13年第3問 

Oを中心とする半径3の円Oと、点Oを通り、点Pを中心とする半径1の円Pを考える。円Pの点Oにおける接線と円Oとの交点をABとする。また、円Oの周上に、点Bと異なる点Cを、弦ACが円Pに接するようにとる。弦ACと円Pの接点をDとする。このとき

である。さらに、であり、である。
の面積はであり、の内接円の半径はである。
(1) Oの周上に、点Eを線分CEが円Oの直径となるようにとる。の内接円の中心をQとし、の内接円の中心をRとする。このとき、である。したがって、内接円Qと内接円R
に当てはまるものを、次ののうちから一つ選べ。
 内接する     異なる
2点で交わる
 外接する     共有点を持たない
(2) であるから、となる。
したがって、
に当てはまるものを、次ののうちから一つ選べ。
 点
Pは内接円Qの周上にある
 点
Qは円Pの周上にある
 点
Pは内接円Qの内部にあり、点Qは円Pの内部にある
 点
Pは内接円Qの内部にあり、点Qは円Pの外部にある

解答 図が描きにくい問題で、ODの長さで行き詰まった受験生が多かったようですが、直角三角形の相似に気づけば大したことはありません。
後半では、昨年に引き続き、
2円の位置関係が問われています。

は直角三角形です。三平方の定理より、

() 1 () 0 ......[]
AP
2等分線なので、
より、
APOP AOOH
() 3 () 1 () 0 () 5 ......[]
余弦定理より、
() 4 () 5 ......[]
において余弦定理より、

より、
() 2 () 4 () 5 ......[]
の面積は、 (三角形の面積を参照)
(
) 2 () 1 () 6 () 2 () 5 ......[]
内接円の半径をrとして、
......[]
(
) 6 () 5 ......[]

(1) において、 (円周角)AC共通より、
従って、の内接円の半径もです。また、QR // ACであって、 ∴
() 1 () 2 () 5 ......[]
よって、より、内接円Qと内接円Rは外接します。
() ......[]

(2) QACとの接点をFとすると、
() 6 () 1 () 0 () 5 ......[]
P,円Qともに、ABACに接するので、APQ2等分線上の点です。
() 1 () 0 () 5 ......[]
より、点Pは内接円Qの内側の点であって、点Qは円Pの内側の点です。
() ......[]


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  1. 2013/07/28(日) 00:17:27|
  2. センター数学'13年
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センター数学IA '13年第2問

 センター数学IA '13年第2問 

座標平面上にある点Pは、点Aから出発して、直線上をx座標が1秒あたり2増加するように一定の速さで動く。また、同じ座標平面上にある点Qは、点PAを出発すると同時に原点Oから出発して、直線上をx座標が1秒あたり1増加するように一定の速さで動く。出発してからt秒後の2PQを考える。点POに達するのはのときである。以下、で考える。
(1) Px座標が等しいx軸上の点を,点Qx座標が等しいx軸上の点をとおく。の面積の和St で表せば
となる。これよりにおいては、Sは最小値をとる。
次に、
aを満たす定数とする。以下、におけるSの最小・最大について考える。
(i) Sで最小となるようなaの値の範囲は
である。
(ii) Sで最大となるようなaの値の範囲はである。
(2) 3OPQを通る2次関数のグラフが関数のグラフを平行移動したものになるのは、のときであり、x軸方向にy軸方向にだけ平行移動すればよい。
解答 動点を扱うところが珍しいですが、例年通りの2次方程式2次関数の問題です。

Pt 秒後のx座標は、
となるのは、のときです。

() 4 ......[]

(1) Py座標は、
の面積は、
Qt 秒後の座標は
の面積は、
() 7 () 1 () 6 () 3 () 2 ......[]
において、Sは、のとき、最小値をとります(2次関数の最大最小を参照)
() 8 () 7 () 1 () 6 () 0 () 7 ......[]
S
で最小になるのは、の範囲がを含むときで、となるとき、つまり、のときです。
() 1 () 7 () 8 () 7 ......[]
S
t の関数として表したグラフは放物線で、軸に関して対称なので、の範囲のちょうど中間にが来るとき、つまり、のときに、範囲の両端とでSの値が等しくなります。
従って、
Sが左端ので最大となるのは、のときです。
() 9 () 1 () 4 ......[]

(2) のグラフをx方向にpy方向にq平行移動したグラフの曲線を
とすると、
Oを通ることから、 ∴  ・・・①
Pを通ることから、 ・・・②
Qを通ることから、 ・・・③
①,③より、

より、 ・・・③
これと、①,②より、



③よりのときには、となり不適。よって、
このとき、

() 5 () 2 () - () 5 () 4 () - () 2 () 5 () 8 ......[]


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  1. 2013/07/28(日) 00:12:58|
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センター数学IA '13年第1問

 センター数学IA '13年第1問 

[1] とする。
このとき

であり、また

である。以上により

となる。

[2] 三角形に関する条件pqrを次のように定める。
p:三つの内角がすべて異なる。
q:直角三角形でない
rの内角は一つもない
条件pの否定をで表し、同様にはそれぞれ条件qrの否定を表すものとする。
(1) 命題「r ⇒ (p または q)」の対偶は「 」である。
に当てはまるものを、次ののうちから一つ選べ。
 
(p かつ q)    ( かつ )
 ( または q)   ( または )
(2) 次ののうち、命題「(p または q) r」に対する反例となっている三角形はである。
に当てはまるものを、のうちから一つずつ選べ。ただし、の解答の順序は問わない。
 直角二等辺三角形
 内角がの三角形
 正三角形
 三辺の長さが
345の三角形
 頂角がの二等辺三角形
(3) r(p または q)であるための
に当てはまるものを、次ののうちから一つ選べ。
 必要十分条件である
 必要条件であるが、十分条件ではない
 十分条件であるが、必要条件ではない
 必要条件でも十分条件でもない
解答 [1]分母の有理化と対称式、[2]は毎年恒例の条件・命題の問題です。

[1]
() 3 ......[]
() 2 () 4 ......[]
() 2 () 2 ......[]
より、
() 4 () 2 ......[]

[2](1) 命題「r ⇒ (p または q)」の対偶は、「(p または )でない rでない」
つまり、「( かつ )
() ......[]
(2) の内角がの三角形は、三つの内角がすべて異なり、また、直角三角形でもないので、「pまたはq」を満たしますが、の内角があるので、rを満たしません。
の頂角の二等辺三角形は、2つの底角がで直角三角形ではないので、「pまたはq」を満たしますが、の内角があるので、rを満たしません。
が「
(pまたはq) r」の反例です。は、いずれも、「pまたはq」を満たしません。
()  () ......[]
(3) 命題「(p または q) r」は、(2)のように、反例が存在するので偽です。
命題「r ⇒ (p または q)」の対偶は、(1)のように、「( かつ )
となりますが、「
かつ 」という条件は、三つの内角のうちに同じ角があって、かつ、という内角を含む、という条件になりますが、このときは、が成り立ちます。つまり、命題「r ⇒ (p または q)」は真です。
従って、
r(p または q)であるための十分条件ですが必要条件ではありません。
() ......[]


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  1. 2013/07/28(日) 00:10:57|
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慶大理工数学'13年[5]

慶大理工数学'13[5]

zを複素数とする。自然数nに対しての実部と虚部をそれぞれとして、2つの数列を考える。つまり、を満たしている。ここで、iは虚数単位である。
(1) 複素数zが、実数θ を用いての形で与えられたとき、任意の自然数nに対してが成り立つことを数学的帰納法を用いて証明しなさい。
(2) 複素数zが、正の実数rと実数θ を用いての形で与えられたとする。このとき、数列がともに0に収束するための必要十分条件を、rθ の範囲で表すと、となる。解答欄(2)に、は数列がともに0に収束するための十分条件であること、および必要条件であることの証明を書きなさい。
(3) のとき、無限級数はともに収束し、それぞれの和はである。

解答 高校範囲で扱う等比数列無限等比級数は実数の範囲で考えますが、公比や初項が複素数になる場合でも同様の公式が成立します。
なお、
複素数ド・モアブルの定理条件・命題を参照してください。

(1) のとき、より、より、成り立ちます。
のとき、が成り立つと仮定します。

より、
よって、のときにも成り立ちます。
よって、
数学的帰納法より、任意の自然数nに対して、が成り立ちます。

(2) のとき、

問題文の要求は「のとき、」で、このとき、となるはずです。ですが、
θ がいかなる実数であっても、任意の自然数nに対して、となるので、であれば、とはなり得ません。のときには、なので、となります。
よって、数列がともに
0に収束する(条件P)ための必要十分条件は、 (条件Q)です。
() ......[]
(十分条件であること:Q P) のとき、より、
(必要条件であること:P Q) 命題「かつならば」の対偶「ならばまたは」を示します。
のとき、なので、仮にとすると、となりますが、より、,よって、対偶が成り立つので、元の命題、つまり、必要条件であるという命題も成立します。

(3) より、とおくと、
ところで、(1)より、なので、 (kmは自然数,)を用いると、 (Mは自然数)として、
ここで、
ここで、とすると、より、無限等比級数は収束して、
 ・・・①
つまり、より、
一般の自然数Nについても、N6で割った商をMとして、より、
 ・・・②
①と同様に、より、
②において、はさみうちの原理より、
()  () ......[]
注.上記では、複素数について不等式を作ることができず、はさみうちの原理が使えないので、実部と虚部に分けて、はさみうちにしていることに注意してください。


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  1. 2013/07/22(月) 03:48:45|
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慶大理工数学'13年[4]

慶大理工数学'13[4]

放物線と直線で囲まれた図形を、直線のまわりに1回転してできる立体の体積Vを求めたい。
(1) とする。直線上にあり原点Oからの距離がrとなる点のうち、x座標が0以上の点をPとする。点Pを通り直線に垂直な直線をとすると、の方程式はとなる。また、点Pが放物線上にあるのは、のときである。
(2) とし、点Pと直線(1)のようにとると、直線と放物線の交点のうち、x座標が0以上の点をQとする。点Pと点Qの距離PQ2乗をrを用いて表すと、となる。求める過程を解答欄(2)に書きなさい。
(3) 求める立体の体積V
となることを用いて、Vを求めなさい。求める過程も解答欄(3)に書きなさい。

解答 斜回転体の体積を求める問題です。

(1) 直線上にあって原点Oからの距離がrとなる点は、Pです。
Pを通り、直線と垂直な直線は(直線の平行と垂直を参照)
 ・・・①
() ......[]
とを連立すると、

Pが放物線上にあるのは、のときです。
() 2 ......[]

(2) 放物線と直線で囲まれた図形は、,つまり、の部分に位置しています。
①とを連立すると、
 (2次方程式を参照)

Q
x座標はより、

() ......[]
(3)
求める体積Vは、
とおくと、rのとき、u
 
(置換積分を参照)



......[]


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  1. 2013/07/18(木) 11:20:38|
  2. 慶大理工数学'13年
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慶大理工数学'13年[3]

慶大理工数学'13[3]

(1) 座標平面上で、点Pが原点を出発して次の2つのルールに従って移動を繰り返し、原点から停止するまで移動した点を順に線分で結んでできるものを経路ということにする。
ルール1またはy4となる点に達するまで移動を繰り返し、その点で停止する。
ルール2:点の次に移動できるのは、3のうちいずれかの点である。ただし、原点およびこれまでに移動した点には移動しない。
このとき、点で停止する経路は全部で通りである。
また、すべての経路は通りであり、そのうち、点を通る経路は全部で通りである。

(2) aを実数とし、関数
を考える。の最小値はaであるとする。このとき、であり、で最小値でない極小値をとる。

解答 (1)(2)は別の問題ですが、両方とも、細かい神経を使って丁寧に場合分けして調べて行く必要があります。なお、場合の数絶対値等式・不等式を参照してください。

(1) ルールより、点Pは上方向(y軸正方向)には移動できますが下方向には移動できません。
x軸に平行な直線上では一度右方向(x軸正方向)に動くと左方向には移動できません。また、一度左方向に動くと右方向には移動できません。
まず、点で停止する経路を考えます。
Pは、直線上では右に移動して点に到達するので、直線上では右に移動します。
直線上、
x軸上ではどちらの方向にも移動できて、7カ所のいずれかで上方向に移動することになります。x軸上ののどこで上方向に移動しても、直線上では、のどこでも上方向に移動できます。
従って、点で停止する経路は全部で通りあります。

() 49 ......[]
(
)と同様にして、点で停止する経路も49通りあります。
で停止する経路は
1通り、点で呈する経路も1通りです。
で停止する経路は、
x軸上ののどこで上方向に移動するか7通り、点で停止する経路も7通り。
で停止する経路は、
x軸上ののどこで上方向に移動しても直線上ではのどこでも上方向に移動できて、さらに、直線上においてものどこでも上方向に移動し、直線上で右方向に移動すれば点に到達します。よって、この経路は通りあります。
で停止する経路も
343通りあります。
さらに、直線上を移動してのどこかで上方向に移動すれば直線上に到達しますが、この経路の数は通りあります。
以上より、すべての経路は、通りあります。

() 3201 ......[]
を通る経路を考えるとき、に下から来るのか、右から来るのか、左から来るのかでから先の動き方が変わるので、場合分けして考えます。
(i) に下から来る場合、x軸上ののどこかで上方向に移動し、この後で上方向に移動するのですが、この経路は7通りあります。
から先は、直線上で左右にも移動できます。
・直線上で右に移動を続ければ点に到達し、左に移動を続ければ点に到達します。この経路が1通りずつあります。
から左右に動いた後、あるいは直接、直線上から上方向に移動するのが、のどこで移動するか7通りあります。この後、直線上で右に移動を続ければ点に到達し、左に移動を続ければ点に到達します。この経路が7通りずつあります。
・直線上ののどこかで上方向に移動すれば、直線上に到達します。この経路が通りあります。
以上で、通りの経路があります。
(ii) に右から来る場合、直線上では、のいずれかで上方向に移動したことになります。x軸上ではのどこで上方向に移動するか7通りあるので、に来るまでの経路は、通りあります。この後、
から左に移動し続ければ、に到達します。この経路が1通り。
から左に動いてから、あるいは直接、直線上から上方向に移動するのが、5通りあります。
この後、直線上を右に移動し続けてに到達するか、左に移動し続けてに到達するかが2通りあります。直線上ののどこか7ヶ所で上方向に移動すれば、直線上に到達します。
以上で、通りの経路があります。
(iii) に左から来る場合、直線上では、のどこか4通りで上方向に移動したことになります。x軸上ではのどこで上方向に移動するか7通りあるので、に来るまでの経路は、通りあります。この後、
から右に移動し続ければ、に到達します。この経路が1通り。
から右に動いてから、あるいは直接、直接上から上方向に移動するのが、3通りあります。
この後、直線上を右に移動し続けてに到達するか、左に移動し続けてに到達するかが2通りあります。直線上ののどこか7ヶ所で上方向に移動すれば、直線に到達します。
以上で、通りの経路があります。
を通る経路が全部で、通り。
() 1883 ......[]

(2) 絶対値記号内の正負で場合分けします。
(i) のとき、
 ・・・①
とすると、 ∴
以下、まず、として考えます。
()のとき、
この範囲においては増加関数なので、
 ・・・②
のとき、
この範囲においては減少関数なので、
 ・・・③
(ii) のとき、
 ・・・④
ここで、の場合を考えているので、
 ∴
のとき、
この範囲においては増加関数なので、
 ・・・⑤
のとき、
この範囲においては減少関数なので、
 ・・・⑥
②,③,⑤,⑥より、の最小値はのうちの小さい方です。
より、が最小値で、
 ∴ (を満たします) ・・・⑦
今度は、として考えます。このときは、となり、
(i) のとき、であって、①より、
 ・・・⑧
(ii) のとき、であって、④より、
 ・・・⑨
⑧,⑨より、の最小値はです。このとき、となりますが、を満たさず不適です。
⑦より、であり、で最小値でない極小値をとる。

()  ()  () ......[]


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  1. 2013/07/16(火) 09:47:32|
  2. 慶大理工数学'13年
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慶大理工数学'13年[2]

慶大理工数学'13[2]

定数aを満たすとする。座標平面上において、直線とし、点Pとする。
を満たす
kに対して、直線を傾きがkで、点Pを通るものとする。このとき、2直線の交点のx座標はである。また、2直線およびy軸で囲まれた三角形の面積をとすると、である。このとき、が最小となるkの値を定数aを用いて表すとであり、の最小値をaを用いて表すとである。
以下、とする。を満たす
kに対して、直線を傾きがkで、点Pを中心とする半径の円と接し、かつ接点のy座標が2よりも小さいものとする。2直線およびy軸で囲まれた三角形の面積をとする。このとき、が最小となるkの値はおよびであり、の最小値はである。

解答 ちょっと見た目には平凡な最大最小問題に見えるのですが、やってみると地獄が待っています。実戦的には、後半はパスするか、カンで埋めておくのが賢明でしょう。

傾き
aの直線の方向ベクトルをy軸の方向ベクトルをとします(直線のベクトル方程式を参照)
直線と直線との交点の
位置ベクトル,直線y軸との交点の位置ベクトルをとします。題意よりです。を通る直線の傾きk(直線の方程式を参照)
 ・・・①
のなす角をαとして()より、
 ・・・② (三角形の面積を参照)
直線上の点の位置ベクトルを
 ・・・③
とすると、
 ・・・④
です(平面ベクトルの応用を参照)
また、点
Pの位置ベクトルについて、
とおくと、
Pは直線上の点なので、は③を満たします。このとき、
 ∴
④に代入すると、
 ・・・⑤

①より、
 ・・・⑥
 ∴
よって、2直線の交点のx座標は、より、
() ......[]
②と()の結果より、
() ......[]
②より、の定数倍なので、⑤の条件下にの最小値を考えます。相加平均相乗平均の関係より、
これより、
等号は、,つまり、のときに成立します。
このとき、⑥より、

() ......[]
の最小値は、
() ......[]
別解.図形と方程式でやるなら、直線の方程式:
と連立して、
直線
y切片がであることから、
においては、のときに、最小値となります。

後半ですが、なので、直線の方向ベクトルをとします。
直線と直線との交点の位置ベクトルを,直線
y軸との交点の位置ベクトルをとします()
直線の方向ベクトルは,法線ベクトルはです
()
直線と円の接点
Rの位置ベクトルは、t を実数として、と表せます。
また、円の中心
Cの位置ベクトルをとして、円の中心Cから接点Rに向かうベクトルと平行で、とおけます。よって、
との内積をとると、
これより、円の半径がであることから、
とおき、分母を払って2乗すると、

これをx2次方程式とみると、は実数なので、2次方程式は実数解をもち、判別式Dについて、
より、
・・・⑦ のとき、②と同様に、となります(このとき、条件を満たすpqが存在すれば、このの最小値です)2次方程式は重解をもち、
 ∴
となるので、qを消去して、

(i) のとき、⑦より、 (条件を満たします)
を結ぶ直線の傾きは、
(ii) のとき、⑦より、 (条件を満たします)
を結ぶ直線の傾きは、
以上より、を最小とするkの値は、 または
(
) 0 () ......[]
の最小値は
() ......[]
別解.微分でやるなら、例えば、からx軸負方向に伸ばした半直線と円の中心と接点を結ぶ半径のなす角をθ として(を、を満たす角として、)、接点は
接線の方程式は、
整理して、
傾きは
y切片は
と連立すると、

(αは、を満たす角、三角関数の合成を参照)は、
において、となるので、です。
は、より、
11を持ちます(三角関数を含む方程式を参照)
より、
または
または
 (2倍角の公式を参照)
は、の範囲に1を持ちます。
なので、
増減表は、
θ0




000



を最小とするkは、または
の最小値は
この解法では猛烈な労力を強いられます。



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  2. 慶大理工数学'13年
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慶大理工数学'13年[1]

慶大理工数学'13[1]

座標平面上において、方程式で表される図形Cを考える。行列を用いると、この方程式は と表せる。
である
θ を用いて、と表される行列Pが、ある実数αβ ()に対し、を満たすとする。このとき、であり、である。とおくと、図形Cの方程式
となる。
図形
C上の2点間の距離の最大値はであり、この最大値を与える図形C上の2点の座標はである。

解答 2009[B1]でも出題されたベクトルの大きさを変えない1次変換(行列内を2個のベクトルと見るとき、この2個のベクトルが直交するので「直交変換」と言います)の問題です。ベクトルの大きさを変えない1次変換は、本問の「回転変換」と、2011[A1]でも出題された直線に関する対称移動(「鏡映変換」と言います)2通りあることが知られています。

 (行列の積を参照)

より、
 ・・・⑤
より、

 ・・・⑥
⑤+⑥より、 ・・・⑦
①+④より、 ・・・⑧
③-②より、 ・・・⑨
だとすると、⑧,⑨より、となってしまうので不適。
よって、,これと⑦より

 ∴
αβ は、2解で、より、
このとき、⑧,⑨より、より

()  () 2 () 4 ......[]
とおくと、 (逆行列を参照)で、
と、とから、

 (楕円を参照)
(
) 6 () 3 ......[]
注.のとき、より、
を、に代入して、

とすることもできます。
図形C上の2点間の距離の最大値は長軸の長さで、これを与える2点は長軸の両端、
これと、より、
()  ()  () ......[]


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